Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação da região sombreada em torno do eixo y :

Passo 1

Oi oi oi gente do bem, como vocês estão?

Nessa auspiciosa questão haha, precisamos usar o método da casca para determinar o volume do sólido obtido quando rotacionamos, em torno do eixo y , a região:

Ou seja, a região abaixo da curva:

f x = 1 + x 2 4

quando 0 ≤ x ≤ 2 .

Mas, vocês lembram o que diz o método da casca?

Bom, basicamente ele diz que se rotacionarmos uma região abaixo da curva f ( x ) em torno do eixo y , o volume do sólido obtido vale:

V = ∫ a b 2 π x ⋅ f x d x

Boaaa! Agora que já revisamos o método, é só montarmos a integral e resolvê-la.

Passo 2

Como comentamos anteriormente, nossa região está abaixo de f x = 1 + x 2 4 , e está no intervalo 0 ≤ x ≤ 2 .

Já que:

V = ∫ a b 2 π x ⋅ f x d x

Teremos:

V =   ∫ 0 2 2 π x ⋅ 1 + x 2 4 d x

Colocando as constantes para fora da integral, temos:

V = 2 π ⋅ ∫ 0 2 x + x 3 4 d x

Usando que:

∫ a b x n = x n + 1 n + 1 a b

Vem que:

V = 2 π ⋅ x 2 2 + x 4 16 0 2

V = 2 π 2 2 2 + 2 4 16

∴ V = 6 π

Terminamosss! Conseguiu entender a solução? Responde aí!

Resposta

6 π

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Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em