Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e largura. Então, escreva a integral que dá o volume do sólido de rotação dessa área em torno das retas dadas. Em, pelo menos um dos volumes deve ser usado o método das cascas cilíndricas.

1 5   y = 8 x 2 ,               y = 8 x ,     x = 1   : e m   t o r n o   d o   e i x o   x   e   r e t a   x = 3  

Passo 1

Faaaaala meu/minha consagradx!! Beleza?? Seguinte, vamos devagarinho aqui... parte por parte sobre o que a questão pede.

Primeiramente vamos esboçar a curva y = 8 x 2 e a curva y = 8 x em um mesmo gráfico e analisar a região delimitada entre as curvas:

É interessante a gente saber que a curva y = 8 x 2 intercepta a reta x = 2 em y = 32 , beleza?

Tá... Mas e esse “retângulo aproximadamente típico” que a questão pede??

Ele não é nada mais e nada menos do que um retângulo em que a altura equivale a diferença entre as duas funções e a largura é a variação do no eixo x , ou seja, Δ x . Para ficar mais fácil de entender, podemos ver:

Passo 2

Dessa forma, o volume sólido de rotação em torno do eixo x , ou seja:

É dado pela seguinte integral:

V = π ∫ 1 2 8 x 2 2 - 8 / x 2 d x ∴

Logo, resolvendo a integral:

V = π ∫ 1 2 64 x 4 - 64 / x 2 d x ∴

V = 1824 5 π

Passo 3

Agora, em torno da reta y = 3 a gente pode usar o Método das Cascas Cilíndricas (MCC) para descobrir o volume do sólido de rotação em torno dessa reta aí. Ou seja:

V M C C = 2 π ∫ 1 2 3 - x 8 x 2 - 8 x d x

Basicamente a gente multiplica a integral por 2 π (que nem a gente calcula o perímetro de uma circunferência ;D) e dentro da integral aquele termo ( 3 - x ) é pra escolher o eixo de rotação.

Logo, resolvendo a integral, temos:

V M C C = 2 π ∫ 1 2 24 x 2 - 24 x - 8 x 3 + 8 d x

V M C C = 2 π 34 - 24 ln ⁡ 2

Legal ne??? Aqui a gente encerra essa questão e vamos que vamos!!!

Resposta

V = 1824 5 π

V M C C = 2 π 34 - 24 ln ⁡ 2

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em