3. Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:

(d) ∫ ∂ D y d x + 2 x d y ; D : x 2 + y 2 ≤ 1 , - y ≤ x ≤ y , y ≥ 0 .

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema temos que calcular a integral ∫ ∂ D y d x + 2 x d y ao longo da região x 2 + y 2 ≤ 1 em que - y ≤ x ≤ y e y ≥ 0 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para resolver esse problema, podemos aplicar o teorema de Green.

Esse teorema nos diz que dado uma integral do tipo

∫ C P d x + Q d y

Onde P e Q são funções, podemos calcular essa integral a partir da integral da área da região fechada C , ou seja

∫ C P d x + Q d y = ∫ ∫ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Vamos começar esboçando a região de integração...

Temos a região do círculo x 2 + y 2 ≤ 1 e que x varia de - y a y e y é maio que 0 .

Perceba que essa região de integração corresponde a 1 / 4 da área de um círculo de raio 1 , ou seja

A = 1 4 π r 2 = π 4

Derivando P e Q para substituir na integral de área...

∂ Q ∂ x = ∂ 2 x ∂ x = 2

∂ P ∂ y = ∂ y ∂ y = 1

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Substituindo ∂ Q ∂ x e ∂ P ∂ y no teorema de Green, temos

∫ ∂ D y d x + 2 x d y = ∫ ∫ 2 - 1 d A

∫ ∂ D y d x + 2 x d y = ∫ ∫ 1 d A

∫ �� D y d x + 2 x d y = ∫ ∫ d A

A integral da derivada da área é justamente a área, não é? Logo

∫ ∂ D y d x + 2 x d y = A

∫ ∂ D y d x + 2 x d y = π 4

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

∫ ∂ D y d x + 2 x d y = π 4

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