Deduza a fórmula do volume do toro obtido ao giramos o circulo x 2 + y - R 2 = r 2 em torno do eixo x

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

O gráfico da função f(x) é dado por:

Que é dado por:

y = R ± r 2 - x 2

E é sobre essa função que vamos analisar e integrar

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Sendo assim, a função é limitada superiormente por y = R + r 2 - x 2 e inferiormente por y = R 2 - r 2 - x 2

Passo 3

Ao girarmos em torno do eixo x, deduzimos a formula do volume gerado por uma rotação, que é dado por:

V = ∫ a b π f x 2 d x

Assim, pela definição de integrais, sabemos que a integral é dado pela área da função delimitada superior pela inferior, assim:

f x 2 = R + r 2 - x 2 - 2 - R - r 2 - x 2 2

Pela imagem também podemos obter que x ∈   - r , + r

Passo 4

Assim, o volume do toro é dado por:

V = ∫ - r + r π R + r 2 - x 2 2 - R - r 2 - x 2 2 d x

Para facilitar, façamos r 2 - x 2 = U , logo:

V = ∫ - r + r π R + U 2 - R - U 2 d x

De forma que:

R + U 2 - R - U 2 = 4 R U

Logo:

4 R U = 4 R r 2 - x 2

Portanto:

V = ∫ - r + r π 4 R r 2 - x 2 d x = 4 π R   ∫ - r + r r 2 - x 2 d x

V = 4 π R   ∫ - r + r r 1 - x r 2

Façamos, agora sim, uma substituição real, então seja x r = sin ⁡ θ de forma que d x = r cos ⁡ θ   d θ , quando x = - r sin ⁡ θ = - 1 → θ = - π 2 e para x = 0 , θ = π 2

Assim ficando:

V = 4 π R ∫ - π 2 π 2 r 2 cos 2 ⁡ θ d θ

Veja como essa equação ficou fácil, baby. Assim:

V = 4 π R r 2 ∫ - π 2 π 2 cos 2 ⁡ θ   d θ

Sabemos que cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 x 2

Assim:

V = 4 π R r 2 ∫ - π 2 π 2 1 2 + cos ⁡ 2 x 2   d θ

V = 4 π R r 2 x 2 + sin ⁡ 2 x 4 - π 2 π 2

V = 4 π R   r 2 π 2

V = 2 π R π r 2

É isso, carinha. Obrigado por ter vindo até aqui

Resposta

V = 2 π R π r 2

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