Exercícios Resolvidos de Cascas Cilíndricas

5) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo y da área finita delimitada pelas curvas y = x 2   e y = x

Passo 1

A primeira coisa a fazer é pensar assim: o sóldio que queremos calcular o volume é um sólido de revolução. Se é um sólido de revolução, vai ser importante a gente entender a aparência da área revolucionada. E que melhor forma de fazer isso do que vendo as curvas?

y = x 2

y = x

Se elas juntas fecham uma região, então bora ver em que valores de x elas se encontram pra fechar essa região:

x 2 =   x

Elevando as duas ao quadrado, temos:

x 4 = x

x 4 - x = 0

x x 3 - 1 = 0

Vamos ter então que:

x = 0 x 3 - 1 = 0 x 3 = 1 x = 1

Já sabemos então que a região está delimitada entre:

0 ≤ x ≤ 1

Que vão ser exatamente os limites de integração

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, bora escolher um método de integração pro calculo desse volume. O método das cascas cilíndricas já dá pra gente uma fórmula pronta pra rotação ao redor do eixo y . Vamos ter então:

V = ∫ a b 2 π x   f x   d x

Como nossas duas funções são positivas no intervalo de integração a = 0 e b = 1 nem precisamos nos preocupar com sinais. Mas que função a gente põe dentro da integral? Pra sacar isso, dá uma olhada no gráfico da região a ser revolucionada:

E veja! Temos uma função que está sempre em cima da outra nos intervalos de integração! Pra saber qual sem precisar do esboço, basta a gente fazer um teste de sinais. Saca só esse exemplo:

x = 0,01 = 1 100

0 ≤ 0,01 ≤ 1

Usando esse valor de x na equação das curvas:

y = x 2 → 1 100 2 = 1 10000 = 0,0001

y = x → 1 100 = 1 10 = 0 , 1

Opa, então no intervalo de integração, vamos ter

x ≥ x 2

Mas ainda não acabou. Afinal, temos duas curvas e só um f x na fórmula. Veja bem, se f x fosse x 2 , íamos ter a seguinte região rotacionada ao redor do eixo y :

E se escolhêssemos x pra ser f x , íamos ter a seguinte região:

Saca só: a região roxa é maior que a região bege. Então se calcularmos o volume dessas regiões, o volume da região roxa rotacionada será maior que a da região bege rotacionada. Sendo assim, se eu escolher:

f x = x - x 2

Vai ser como se estivéssemos calculando o volume roxo menos o volume bege que, no final das contas, é o volume cinza que a gente quer mesmo:

Passo 3

Vamos fechar então a questão calculando a integral. Do método escolhido:

V = ∫ a b 2 π x   f x   d x

Seja:

a = 0 b = 1 f x = x - x 2

Vamos ter:

V = ∫ 0 1 2 π x   x - x 2   d x = 2 π ∫ 0 1 x   x 1 2 - x 2   d x

V = 2 π ∫ 0 1 x 3 2 - x 3   d x =   2 π 2 x 5 2 5 - x 4 4 x = 0 x = 1

V =   2 π 2 . 1 5 2 5 - 1 4 4 - 2 . 0 5 2 5 - 0 4 4   =   2 π 2 5 - 1 4

V =   2 π 8 20 - 5 20 =   2 π 3 20  

V = 3 π 10  

Resposta

V = 3 π 10  

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