Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo y, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

a )   y = x ,           y = - x 2 ,           x = 2

Passo 1

Saaalve galerinha, animam destruir essa questão comigo?

O enunciado nos diz que há uma região criada pelo limite das seguintes retas:

y = x ,           y = - x 2 ,           x = 2

Podemos plotar o gráfico e perceber a região amarela foi formada. Olha só!

Aqui, a reta verde é y = x , a reta azul é y = - x 2 e x = 2 é a reta vertical vermelha.

A dúvida é: quando essa região rotacionar ao redor do eixo Y, qual vai ser o volume do sólido? Vem descobri comigooo!

Passo 2

A ideia aqui é usar o método da casca que tem o objetivo de calcular o volume de uma região segundo a fórmula:

V = ∫ a b 2 π   ( r a i o   d a   c a s c a ) ( a l t u r a   d a   c a s c a )

O raio da casca vai ser a variação no eixo X, então 0 < x ≤ 2 , pois a rotação é no eixo y.

E a altura da casca é a subtração das duas retas em y, logo f x = x - - x 2 = 2 x + x 2 = 3 x 2  

Substituindo na fórmula da casca, temos:

V = ∫ 0 2 2 π   ( x ) 3 x 2 d x

Passo 3

E o nosso último passo vai ser resolver essa integral LINDA!

Fazendo uma simplificação em x:

V = ∫ 0 2 2 π 3 x 2 2 d x = 3 π ∫ 0 2 x 2 d x

Integrando, teremos:

V = 3 π x 3 3 0 2 = 2 3 π = 8 π

Curtiu a resolução? Responde Aí!!

Resposta

v o l u m e = 8 π

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em