Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo y, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

d )   y = 2 - x 2 ,           y = x 2 ,           x = 0

Passo 1

Saaalve galerinha, animam destruir essa questão comigo?

O enunciado nos diz que há uma região criada pelo limite das seguintes curvas:

y = 2 - x 2 ,           y = x 2 ,           x = 0

São 2 parábolas, y = x 2 aberta pra cima e y = 2 - x 2 aberta pra baixo.

E x = 0 é o próprio eixo y .

Podemos plotar o gráfico e perceber a região amarela foi formada. Olha só!

A dúvida é: quando essa região rotacionar ao redor do eixo Y, qual vai ser o volume do sólido? Vem descobri comigooo!

Passo 2

A ideia aqui é usar o método da casca que tem o objetivo de calcular o volume de uma região segundo a fórmula:

V = ∫ a b 2 π   ( r a i o   d a   c a s c a ) ( a l t u r a   d a   c a s c a )

O raio da casca vai ser a variação no eixo X, então 0 < x ≤ + 1 , pois a rotação é no eixo y.

E a altura da casca é a subtração da maior curva pela menor em y, logo f x = 2 - x 2 - x 2

Substituindo na fórmula da casca, temos:

V = ∫ 0 1 2 π   x - 2 x 2 + 2   d x = ∫ 0 1 4 π   - x 3 + x   d x

Passo 3

E o nosso último passo vai ser resolver essa integral LINDA!

Fazendo uma simplificação para facilitar resolver a integral:

V = 4 π ∫ 0 1 - x 3 + x   d x

Integrando, teremos:

V = 4 π - x 4 4 + x 2 2 0 1 = 4 π - 1 4 4 + 1 2 2 = 4 π - 1 4 + 1 2 = 4 π - 1 + 2 4 = π

Curtiu a resolução? Responde Aí!!

Resposta

v o l u m e = π

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em