Exercícios Resolvidos de Cascas Cilíndricas

Cálculo de Volume através de Integrais

g Ache o volume gerado pela rotação em torno do eixo y da placa definida por:

0 < x < 1   ; x 5 + x + 1 < y < 3

Passo 1

Pela situação não precisamos nem de um esboço. Acontece que já sabemos que a região é delimitada por cima por 3 e inferiormente por x 5 + x + 1 . Assim, concluímos que, com x variando de 0 até 1 , a integral pode ser feita pelo método das cascas cilíndricas da seguinte maneira:

V = ∫ 0 1 2 π r x h x d x

r x = x   ; h x = 3 - x 5 + x + 1

V = ∫ 0 1 2 π x 2 - x 5 - x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora é só resolver:

V = 2 π ∫ 0 1 2 x - x 6 - x 2 d x

= 2 π x 2 - x 7 7 - x 3 3 [ 1 0

= 2 π 1 - 1 7 - 1 3 - 2 π 0 7 + 0 3 - 0

= 22 π 21   u . v .

Resposta

V = 22 π 21   u . v .

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