Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximadamente típico e coloque sua altura e largura. Então, escreva a integral que dá o volume do sólido de rotação dessa área em torno das retas dadas. Em, pelo menos um dos volumes deve ser usado o método das cascas cilíndricas.

1   y = x 2 ,               y = 8 x ,             x = 1   : e m   t o r n o   n o   e i x o   x   e   r e t a   x = - 2

Passo 1

Faaaaala meu/minha consagradx!! Beleza?? Seguinte, vamos devagarinho aqui... parte por parte sobre o que a questão pede.

Primeiramente vamos esboçar a curva y = x 2 e a curva y = 8 x em um mesmo gráfico:

Analisando ainda mais a figura, vemos que a região delimitada entre as curvas é essa aqui ó:

Tá... Mas e esse “retângulo aproximadamente típico” que a questão pede??

Ele não é nada mais e nada menos do que um retângulo em que a altura equivale a diferença entre as duas funções e a largura é a variação do no eixo x , ou seja, Δ x . Para ficar mais fácil de entender, podemos ver:

Passo 2

Ok, mas e agora???

Agora vamos procurar a interseção das curvas igualando as duas funções:

x 2 = 8 x ∴ x = 8 3 ∴ x = 2

Ou seja, há uma interseção em x = 2 .

Passo 3

Assim, pela figura, vemos que os limites de integração vão de 1 a 2 . Portanto, a integral que descreve o volume do sólido é dada por:

V = π ∫ 1 2 8 x 2 - x 2 d x ∴

V = π ∫ 1 2 64 x 2 d x - ∫ 1 2 x 4 d x

Da primeira integral, fazendo por partes sabemos que:

∫ u v ' = u v - ∫ v u '

Em que:

  • u = 8 x 2 ∴ u ' = - 128 x 3
  • v ' = 1 ∴ v = x

Ou seja, substituindo temos:

∫ 1 2 64 x 2 d x = 64 x 2 x - ∫ 1 2 - 128 x 3 x d x ∴

64 x   2 1 - 128 x   2 1 = 32

Da segunda integral, temos:

∫ 1 2 x 4 d x = x 5 5   2 1 = 31 5

Dessa forma, substituindo as duas integrais, temos:

V = π ∫ 1 2 64 x 2 d x - ∫ 1 2 x 4 d x ∴ V = π 32 - 31 5 ∴ V = 129 π 5

Passo 4

Agora, em torno da reta x = - 2 a gente pode usar o Método das Cascas Cilíndricas (MCC) para descobrir o volume do sólido de rotação em torno dessa reta aí. Ou seja:

V M C C = 2 π ∫ 1 2 3 + x 8 x - x 2 d x

Basicamente a gente multiplica a integral por 2 π (que nem a gente calcula o perímetro de uma circunferência ;D) e dentro da integral aquele termo ( 3 + x ) é pra escolher o eixo de rotação.

Logo, resolvendo a integral, temos:

V M C C = 2 π ∫ 1 2 24 x - 3 x 2 + 8 - x 3 d x ∴

V M C C = 2 π 24 ln ⁡ 2 - 7 + 8 - 15 4 ∴

V M C C = 2 π 24 ln ⁡ 2 - 11 4

Resposta

V M C C = 2 π 24 ln ⁡ 2 - 11 4

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em