Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

a )   x = y ,             x = - y ,           y = 2

Passo 1

Saaalve galerinha, animam destruir essa questão comigo?

O enunciado nos diz que há uma região criada pelo limite das seguintes retas:

x = y ,             x = - y ,           y = 2

Podemos plotar o gráfico e perceber que a região amarela foi formada. Olha só!

x = y é a curva em cinza, que delimita a região pela direita. A reta azul é x = - y e a reta vermelha é a função constante y = 2 .

A dúvida é: quando essa região rotacionar ao redor do eixo x, qual vai ser o volume do sólido? Vem descobrir comigooo!

Passo 2

A ideia aqui é usar o método da casca que tem o objetivo de calcular o volume de uma região segundo a fórmula:

V = ∫ a b 2 π   ( r a i o   d a   c a s c a ) ( a l t u r a   d a   c a s c a )

Como a região é limitada por uma curva quando x ≥ 0 e por uma reta quando x ≤ 0 , vamos dividir a área em duas para simplificar a resolução, combinado?

Para x ≥ 0 :

O raio da casca vai ser a variação no eixo y, então 0 < y ≤ 2 , pois a rotação é no eixo x.

A altura da casca é limitada pela curva f y = y .

Substituindo na fórmula da casca, temos:

V 1 = ∫ 0 2 2 π   y   y d y = 16 5 2 π

Passo 3

E agora vamos analisar o caso:

Para x ≥ 0 :

O raio da casca vai ser a variação no eixo y, então 0 < y ≤ 2 , pois a rotação é no eixo x.

A altura da casca é limitada pela curva f y = - y .

Substituindo na fórmula da casca, temos:

V 2 = ∫ 0 2 2 π   y   y d y = 2 π ∫ 0 2   y 2 d y = 16 3 π

E para finalizar, vamos somar V 1 e V 2 para determinar o volume do sólido.

V =   16 5 2 π + 16 3 π = 16 π 15 3 2 + 5

Conseguimooos! Curtiu a resolução? Responde Aí!

Resposta

v o l u m e = 16 π 15 3 2 + 5

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em