A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método.

d. x = 2 y y 2 + 1 , x = 0 , y = 1 ; em torno do eixo y.

Passo 1

Fala turminha beleza? Bora lá! A maior dificuldade dessa questão tá na gente conseguir imaginar como ficaria o gráfico dessa questão. Temos isso aqui:

Passo 2

Beleza, agora vamos armar nossa integral. Pra o volume da nossa região em torno do eixo y, temos:

V S = π   ∫ 2 y 2 y 2 + 1   d y

Vamos resolver ela pelo método da substituição. Os limites de integração vai ser justamente 0 e 1, valores que limitam a região do gráfico.

Passo 3

Por fim vamos calcular a integral. Bem tranquila, saca só:

V S = π ∫ 0 1 2 y 2 y 2 + 1 d y

Adotaremos u = y 2 + 1 ,   d u = 2 y d y . Portanto nossa integral fica assim:

V S = π ∫ 1 2 d u u 2 = π ∫ 1 2 u - 2 d u

= π u - 2 + 1 - 2 + 1 ​ 1 2

= π u - 1 - 1 ​ 1 2

= - π u ​ 1 2

V s = - π 2 - - π 1 = π 2

Resposta

V s = π 2

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em