Encontre o volume do sólido que permanece depois que um furo circular de um raio é perfurado através do centro de uma esfera sólida de raio r > a por:

b) Cascas cilindricas

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Se liga só, nós queremos saber qual o volume que sobre de uma esfera depois que perfura ela, você concorda que se obtermos o volume da esfera e subtrairmos o volume do furo, obteremos o volume do sólido que resta?

Dessa forma:

V = V e s f e r a - V c i l i n d r o

O método das cascas cilíndricas é da seguinte forma:

V = ∫ a b 2 π x f ( x ) d x

Ou:

V = ∫ a b   2 π y g y d y

Depende de qual eixo você quer rotacionar

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Primeiro o volume da esfera:

Sabemos que a função da esfera é dada por:

x 2 + y 2 = r 2 → y = r 2 - x 2

E se colocarmos no centro, x varia de um lado do diâmetro ao outro, ou seja, x ∈ - r , r . Assim:

V e s f e r a = ∫ - r + r 2 π x r 2 - x 2 d x

Aaahh... Essa equação vai nos dar resultado nulo, então podemos intuir que se obtermos um lado do volume da esfera, a metade, e multiplicarmos por 2, obteremos ao fim o volume total, concorda? Assim:

V e s f e r a = 2 ∫ 0 r 2 π x r 2 - x 2 d x

Façamos r 2 - x 2 = u de forma que d x = - d u 2 x , e quando:

x = 0 → u = r 2

x = r → u = 0

Assim:

V e s f e r a = 4 π ∫ r 2 0 - u 2   d u

Sabemos que essa integral usa a técnica das integrais que é:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Assim:

V e s f e r a = - 2 π 2 3 u 3 2 r 2 0

V e s f e r a = 4 3 π r 3         c . q . d

À titulo de interesse, carinha: C.q.d significa “como queríamos demosntrar”

Agora para o volume que foi formado pelo furo:

Coloquemos o cilindro com altura h, e o raio a como é dado, assim:

Logo temos tudo definido já, e o eixo de de rotação é o eixo x, assim:

V c i l i n d r o = ∫ 0 a 2 π x h d x

V c i l i n d r o = 2 π h y 2 2 0 a

V c i l i n d r o = π a 2 h                 c . q . d

Passo 3

Assim o volume que resta do furo é:

V = V e s f e r a - V c i l i n d r o

V = 4 3 π r 3 - π a 2 h    

É isso, carinha. Obrigado por ter vindo até aqui

Resposta

V = 4 3 π r 3 - π a 2 h    

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em