(4) Utilize o Teorema de Pappus-Guldin para determinar:

(c) o centroide da região A = x , y ∈ R 2 ; x 2 + y 2 ≤ 4 , x ≥ 0 , y ≥ 0 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos que aplicar o teorema de Pappus-Guldin para determinar o centroide da área do solido de revolução gerado pela rotação, através do eixo x , da região A = x , y ∈ R 2 ; x 2 + y 2 ≤ 4 , x ≥ 0 , y ≥ 0 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

O teorema de Pappus-Guldin nos diz que o volume de um solido de revolução é dado por

V = 2 π r - A

Onde r - é a distância do centroide da área a ser revolucionada e A é sua área.

Primeiramente vamos obter o gráfico da área que vamos revolucionar, calcular sua área e a distância do seu centroide até o eixo de rotação.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Vamos começar esboçando a região A ...

Essa região se trata da região formada pelo setor circular dado pela inequação x 2 + y 2 ≤ 4 em que x ≥ 0 e y ≥ 0 .

Essa região se trata de 1 / 4 de uma circunferência, portanto podemos calcular sua área como

A = 1 4 π r 2

No caso, r = 2 como podemos obter da equação do círculo.

A = 1 4 π 2 2 = π

Perceba que ao rotacionar essa área, vamos obter uma semiesfera de raio r , portanto o volume do objeto pode ser obtido como

V = 1 2 4 π r 3 3 = 4 π 2 3 6

V = 16 π 3

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Vamos substituir as informações que encontramos até aqui na equação do teorema

V = 2 π r - A

16 π 3 = 2 π r - π

Simplificando e isolando r -

16 3 = 2 π r -

r - = 16 3 2 π

r - = 8 3 π

Perceba que no eixo x e no eixo y há uma simetria na região, logo o centroide da região terá as mesmas coordenadas em x e y

C = 8 3 π , 8 3 π

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

C = 8 3 π , 8 3 π

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