Nos seguintes itens determine os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões em torno dos eixos dados.

a) O triangulo com vértices ( 1,1 ) , ( 1,2 ) e ( 2,2 )

em torno:

i)Da reta y = 1 .

Passo 1

Fala turminha beleza? Bora lá! Primeiro passo é construir o triangulo com os vértices indicados. Temos portanto,

Para a primeira situação, o eixo que ele vai rotacionar é o x = 2 , portanto temos:

Passo 2

Show, agora vamos usar a imaginação. Ao rotacionar, essa figura vai formar uma espécie de cilindo com uma das faces oca no formato de um cone. Temos portanto,

V t o t a l = V c i l i n d r o - V o c o

Pra o volume do cilindro, fazemos:

V c = π r 2 ⋅ h

O raio a ser adotado aqui, vai ser igual a o valor do lado do triangulo que está paralelo com o eixo x. Portanto, r = 1 . A altura também é 1, visto que o lado que está pararelo com o eixo y também tem valor 1. Logo:

V c = π ⋅ 1 2 ⋅ 1 = π

Passo 3

Para o volume oco, usaremos a fórmula de volume de um cone:

V o c o = 1 3 π r 2 h

Como o valor de raio e altura são iguais, temos que:

V o c o = 1 3 π

Calculando a diferença:

V t o t a l = V c i l i n d r o - V o c o = π - π 3 = 2 π 3

Passo 4

Pra o item ii), semelhantemente temos a mesma situação, só que agora rotacionando no eixo x. Portanto, o volume é exatamente o mesmo.

V t o t a l = V c i l i n d r o - V o c o = π - π 3 = 2 π 3

Resposta

V t o t a l = 2 π 3   para ambas situações.

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em