Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo y, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

c )   y = x 2 ,           y = 2 - x ,           x = 0 ,     p a r a   x ≥ 0

Passo 1

Saaalve galerinha, animam destruir essa questão comigo?

O enunciado nos diz que há uma região criada pelo limite das seguintes retas:

y = x 2 ,           y = 2 - x ,           x = 0

Podemos plotar o gráfico e perceber a região amarela foi formada. Olha só!

A dúvida é: quando essa região rotacionar ao redor do eixo Y, qual vai ser o volume do sólido? Vem descobri comigooo!

Passo 2

A ideia aqui é usar o método da casca que tem o objetivo de calcular o volume de uma região segundo a fórmula:

V = ∫ a b 2 π   ( r a i o   d a   c a s c a ) ( a l t u r a   d a   c a s c a )

O raio da casca vai ser a variação no eixo X, então 0 < x ≤ 2 , pois a rotação é no eixo y.

E a altura da casca é a subtração da maior curva pela menor em y, logo f x = 2 - x - x 2

Substituindo na fórmula da casca, temos:

V = ∫ 0 1 2 π   ( x ) - x 2 - x + 2   d x

Passo 3

E o nosso último passo vai ser resolver essa integral LINDA!

Fazendo uma simplificação para facilitar resolver a integral:

V = 2 π - ∫ 0 1 x 3 d x - ∫ 0 1 x 2 d x + 2 ∫ 0 1 x   d x

Integrando, teremos:

V = 2 π - x 4 4 - x 3 3 + x 2 0 1 = 2 π - 1 4 - 1 3 + 1 = 2 π - 3 - 4 + 12 12 = 5 6 π

Curtiu a resolução? Responde Aí!!

Resposta

v o l u m e = 5 6 π

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em