12. Use o método da casca para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:

f)   y = x ,   y = 2 x ,   y = 2

Passo 1

E aii, galera do responde aí! Beleza?

Nessa questão precisamos usar o método da casca pra determinar o volume do sólido de revolução, em torno do eixo x , da região limita pelas retas y = x , y = 2 x e pela reta   y = 2 .

Mas que método da casca é esse? É aquele da casca cilíndrica.

Com esse método vamos achar o volume do sólido a partir de algum cilindro mais genérico que esteja inscrito no sólido.

E usar a equação:

V = ∫ 2 π R   H   d R

Ta... um monte de palavra bonita, né? Mas como fazemos isso na prática?

Passo 2

Primeira coisa que vamos fazer é esboçar essas duas curvas pra achar qual é essa bendita região delimitada.

Esboçando as retas:

Vamos aproveitar e já calcular esses três pontos de intersecção. Pra isso, igualamos as equações das retas, duas a duas.

Primeiro as duas primeiras retas. ( y = x e y = 2 x )

x = 2 x

x = 0

E, substituindo nas equações, y = 0 .

Agora a primeira e a terceira. ( y = x e y = 2 )

Já temos que:

y = 2

Substituindo na primeira:

x = 2

E, por último, a segunda e a terceira. ( y = 2 x e y = 2 )

y = 2

Substituindo na segunda:

x = 1

Passo 3

Agora vamos fazer aparecer o tal do cilindro.

Como a rotação é em torno do eixo x , vamos tração uma “linha”, de largura d R , paralela ao eixo x ligando as retas que delimitam a área. Esse vai ser o lado do nosso cilindro.

Daí podemos já dizer quem é quem.

Como escolhemos uma paralela ao eixo x para traçar o lado do cilindro, então R = y .

E a espessura da linha é d R = d y .

Já, para H , temos que é apenas entre os valores de y = x e y = 2 x . Mas estamos trabalhando com y , então x = y e x = y 2 . Então:

H = y - y 2

H = y 2

Passo 4

Agora é só jogar tudo na equação:

V = ∫ 2 π R   H   d R

V = ∫ 2 π   y   y 2   d y  

Ahhh... mas faltam os limites de integração, né?

No final do passo 2 achamos pontos importantes. Daí podemos ver, então que y varia entre 0 e 2. Então:

V = ∫ 0 2 2 π   y   ( y 2 )   d y

Resolvendo:

V = π ∫ 0 2 y 2   d y

V = π y 3 3 0 2

V = π 2 3 3 - 0 3

V = π 8 3

V = 8 π 3

Eeeeee. Essa foi, heim!? Vamos pra próxima?

Resposta

V = 8 π 3

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em