3. Calcule o VOLUME do sólido obtido pela rotação ao redor do EIXO Y da região delimitada pelos gráficos de y = x + 2 , y = 4 - x 2 e as retas verticais x = 0 e x = 2 .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos que calcular o volume de um sólido formado ao rotacionarmos uma região no eixo y .

Para fazermos esse calculo vamos aplicar a seguinte fórmula:

V = π ∫ a b g y 2 d y

Então agora nós temos que encontrar quem é essa função e quem são os limites de integração.

Agora lá!

Passo 2

Vamos começar achando os limites de integração! Para isso, vamos traçar todas as linhas que delimitam a nossa região em um gráfico.

Onde a reta verde representa o gráfico y = x + 2 ; a linha azul é referente ao gráfico y = x 2 + 4 ; e as linhas vermelha e laranja são as retas verticais x = 0 e x = 2 , respectivamente.

Como vamos rotacionar no eixo y , pelo gráfico, temos que ela é limitada por y = 2 e y = 4 .

E está entre as curvas: x = y - 2 e x = - y 2 + 4 .

Agora bora montar a nossa integral!

Passo 3

Passando tudo para a fórmula do volume, ficamos com

V = π ∫ 2 4 y - 2 2 - y 2 - 4 2 d y

Ajeitando, isso será

V = π ∫ 2 4 y 2 - 4 y + 4 + y 2 - 4   d y

V = π ∫ 2 4 2 y 2 - 4 y   d y

Agora vamos resolver essa integral!

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos aplicar a regra do polinômio para cada termo,

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Com isso, chegamos em

V = π ∫ 2 4 2 y 2 - 4 y     d y = π 2 y 3 3 - 2 y 2 | 4 2

V = π 128 3 - 32 - 16 3 + 8 = π 112 3 - 24

V = 40 π 3

Resposta

V = 40 π 3

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 B
Para algumas regiões, os dois métodos funcionam bem para sólidos obtidos com a rotação da região em torno dos eixos das coordenadas, mas isso nem sempre ocorre. Por exemplo, quando uma região gira em