Exercícios Resolvidos de Cascas Cilíndricas

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 6, Questão 10

Em cada um dos exercícios 7 a 10 considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Aplicando o método das cascas cilíndricas, calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado.

10 .   R : y = l n x   ,   y = 0   ,   x = e 2             E : e i x o   x

Passo 1

Se liga no gráfico dessas funções que estão no enunciado.

Lembrando que como temos que girar a função em torno do eixo x , a integral que temos que calcular é:

a b 2 π y f y d y

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Passo 2

Ora, se y = l n x x = e y . Lembrando que esse f y = e 2 - e y . Quando vamos integrar com respeito a y , a gente sempre pega a função que está mais a direita e subtrai daquela que está mais a esquerda. Então nossa integral ficou assim:

a b 2 π y e 2 - e y d y

Agora, para encontrar os limites de integração, basta substituir os valores na função y = l n x . Perceba que já temos um limite de integração: y = 0

Para x = e 2 y = ln e 2 y = 2

0 2 2 π y e 2 - e y d y = 0 2 2 π y e 2 - 2 π y e y d y = 2 π 0 2 y e 2 d y - 2 π 0 2 y e y d y

Passo 3

Vamos fazer cada uma dessas integrais separadamente:

2 π 0 2 y e 2 d y = π y 2 e 2 0 2 = 4 π e 2

Agora vamos para a próxima:

2 π 0 2 y e y d y

Nesse caso, vamos ter que fazer uma integração por partes. Lembra da fórmula?

u d v = u v - v d u

Chamando u = y d u = d y e d v = e y d y v = e y

2 π 0 2 y e y d y = 2 π y e y 0 2 - 2 π 0 2 e y d y = 4 π e 2 - 2 π e 2 + 2 π

Passo 4

Juntando tudo:

2 π 0 2 y e 2 d y - 2 π 0 2 y e y d y = 4 π e 2 - 4 π e 2 + 2 π e 2 - 2 π = 2 π e 2 - 1

Resposta

10 .   0 2 2 π y e 2 - e y d y = 2 π e 2 - 1

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