Exercícios Resolvidos de Cascas Cilíndricas

PUCRIO, Cálculo B - MAT1158, G4 - 2017.1, Questão 2

Considere a região R delimitada pelas curvas x = 1 , y = x + 1 , y = e - x

  1. Esboce a região R .
  2. Escreva a integral, ou soma de integrais, que determina(m) o volume sólido obtido pela rotação da região acima ao redor do eixo y .
  3. Calcule o volume do sólido do item acima.

Passo 1

Letra a) então, para a gente começar esse item, é legal a gente começar entendendo quem são essas curvas aí, certo?

Bem, a primeira delas, x = 1 é uma reta paralela ao eixo y que corta o x = 1 , dessa forma aqui:

y = x + 1 , também é uma reta, mas que passa em y = 1 quando x = 0 e x = - 1 quando y = 0 , dessa forma

Quanto a última, y = e - x , ela está com o expoente negativo, portanto é a exponencial só que decrescendo, ou seja:

A região R delimitada por elas é justamente essa pedacinho aí

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b) Como queremos uma rotação dessa região em torno do eixo y , a gente pode tentar encontrar a integral do volume pelo método das cascas cilíndricas, se lembra dele?

Bem, a fórmula é essa daqui, oh:

V o l u m e = 2 π a b x g x - h x d x

Ok! Mas no nosso caso quem são esses limites de integração a e b ?

a é o limite inferior da região em x , ou seja, é o menor valor que x assume na região, portanto a = 0 o b é o valor máximo de x que no caso é 1 , ou seja b = 1 .

Bem, essa g e h aí uma representa a função que está por cima, e a outra... a que está por baixo, sacou?

Ou seja, no nosso caso, temos que a função que está por cima é a reta g x = x + 1 e a de baixo é a exponencial h x = e - x

Substituindo tudo...

V o l u m e = 2 π 0 1 x x + 1 - e - x d x

Passo 3

Letra c) Bem, integral montada, é só cair no abraço e resolver, bora?

Multiplicando tudo ali, teremos...

V o l u m e = 2 π 0 1 x x + 1 - e - x d x =

2 π 0 1 x 2 + x - x e - x d x

Como a integral da soma é a soma das integrais...

V o l u m e = 2 π 0 1 x 2 d x + 0 1 x d x + 0 1 - x e - x d x

As duas primeiras integrais, saem direto, mas a última vai exigir um pouco mais da nossa atenção. Mas vamos começar pelas duas primeiras...

Passo 4

0 1 x 2 d x + 0 1 x d x =

Integrando esse polinômios

x 3 3 0 1 + x 2 2 0 1 =

Substituindo os limites de integração...

1 3 + 1 2

Passo 5

Vamos agora para aquela última integral que compõe o volume

0 1 - x e - x d x = 0 1 x ( - e - x ) d x

Nessa integral podemos pensar em fazer uma integração por partes, ou seja

Vamos tomar o x para derivar (porque aí ele desaparece, e o - e - x para integrar, lembrando que a integral dele é e - x

u = x                                                         d u = d x

d v = - e - x d x                                               v = e - x

Aplicando na fórmula de integração por partes...

u d v = u v - v d u

Comparando os termos que a gente tem

x - e - x d x = x e - x - e - x d u

Passando esse menos para dentro da integral

x - e - x d x = x e - x + - e - x d u

Essa integral aí, como já vimos, é e - x

x - e - x d x = x e - x + e - x

Aplicando os limites da definida...

0 1 - x e - x d x =   x e - x + e - x 0 1

Substituindo os limites...

0 1 - x e - x d x = e - 1 + e - 1 - 0 + e 0 =

0 1 - x e - x d x = 2 e - 1 - 1 =

0 1 - x e - x d x = 2 e - 1 - 1

Passo 6

Voltando para o volume

V o l u m e = 2 π 0 1 x 2 d x + 0 1 x d x + 0 1 - x e - x d x

V o l u m e = 2 π 1 3 + 1 2 + 2 e - 1 - 1 =

V o l u m e = 2 π 2 e - 1 - 1 6

Resposta

Letra a)

Letra b)

V o l u m e = 2 π 0 1 x x + 1 - e - x d x

Letra c)

2 π 2 e - 1 - 1 6

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