Exercícios Resolvidos de Cascas Cilíndricas

UFRJ, Cálculo 1, PF - 2016.1, Questão 3

Considere a região R limitada pelas curvas y = - x 3 - 1 , pelo eixo O Y e pela reta y = x + 1 .

a Faça um esboço da região R .

b Escreva uma única integral que expresse a área da região R . Não precisa calcular a integral.

c Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo O Y .

Passo 1

a Começamos determinando a(s) interseção(ões) dos gráficos. Igualando as funções teremos:

- x 3 - 1 = x + 1

Repara no seguinte, esse cara do x 3 pode ser colocado com um produto notável mais prático:

- x 3 - 1 = - x 3 + 1

= - x + 1 x 2 - x + 1

Trazendo isso para igualdade de antes:

- x 3 - 1 = x + 1

- x + 1 x 2 - x + 1 = x + 1

Fazendo Bhaskara com o x 2 - x + 1 veremos que ele não tem raízes. Assim, o único ponto onde essa igualdade é verdade é quando

x + 1 = 0 x = - 1

Esse será o ponto de interseção, o ponto - 1 , - 1 + 1 = - 1,0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O gráfico de x 3 fica mais ou menos assim:

Invertendo ele (multiplicando por - 1 ) e descendo ele em 1 unidade (subtraindo 1 ), teremos o gráfico de - x 3 - 1 :

Agora adicionamos a reta y = x + 1 e fechamos a região com o eixo y (eixo O Y ):

Nossa região   R é esta acima do - x 3 - 1 , em vermelho, abaixo da reta x + 1 , em azul, e ao lado do eixo y , em verde.

Passo 3

b A integral pode ser escrita como a diferença entre a função de cima, x + 1 , pela função de baixo, - x 3 - 1 , indo do limite inferior, a interseção em x = - 1 , até o limite superior, no eixo y , com x = 0 .

Logo, ficará assim:

a b f x - g x d x = - 1 0 x + 1 - - x 3 - 1 d x

= - 1 0 x 3 + x + 2 d x

Passo 4

c Esse volume pode ser achado pelo método das cascas cilíndricas.

O nosso raio será dado pela distância da casca até o eixo, ou seja, r x = - x .

A altura das cascas terá a diferença entre as funções:

h x = x + 1 - - x 3 - 1 = x 3 + x + 2

Os limites de integração vão da interseção até o ponto onde a região acaba, ou seja, a = - 1 e b = 0 .

Dessa maneira, aplicamos a fórmula das cascas cilíndricas:

a b 2 π h x r x d x = - 1 0 2 π x 3 + x + 2 - x d x

= - 2 π - 1 0 x 4 + x 2 + 2 x d x = - 2 π x 5 5 + x 3 3 + x 2 [ 0 - 1

= - 2 π 0 5 5 + 0 3 3 + 0 2 - - 1 5 5 + - 1 3 3 + - 1 2

= - 2 π 0 - - 1 5 + - 1 3 + 1

= - 2 π - 7 15 = 14 π 15   u . v .

Resposta

a   ( f i g u r a   f i n a l   d o   P a s s o   2 )

b   - 1 0 x 3 + x + 2 d x

c   14 π 15   u . v .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas