Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Passo 1

Vamos primeiro reescrever a nossa integral

∫ sen 3 ⁡ x cos 4 ⁡ x d x = ∫ sen 2 ⁡ x sen ⁡ x cos 4 ⁡ x d x

Agora, podemos usar a identidade trigonométrica sen 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

∫ sen 3 ⁡ x cos 4 ⁡ x d x = ∫ ( 1 - cos 2 ⁡ x ) sen ⁡ x cos 4 ⁡ x d x

Passo 2

Resolvido isso, agora vamos usar a técnica da substituição para resolver.

u = cos ⁡ x

d u = - sen ⁡ x d x

Então ficamos com

∫ sen 3 ⁡ x cos 4 ⁡ x d x = - ∫ 1 - u 2 u 4   d u

∫ sen 3 ⁡ x cos 4 ⁡ x d x = - ∫ 1 u 4   d u + ∫ 1 u 2 d u

∫ sen 3 ⁡ x cos 4 ⁡ x d x = 1 3 u - 3 - u - 1 + C

Refazendo a substituição

∫ sen 3 ⁡ x cos 4 ⁡ x d x = 1 3 cos - 3 ⁡ x - cos - 1 ⁡ x + C

Resposta

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Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x
Calcule a integral ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ
Calcular a área da região limitada por y = tg 3 ⁡ x , y = 1 e x = 0 .
Calcule a integral. ∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x