Usando que

cos ⁡ ( a ) cos ⁡ ( b ) = 1 2 cos ⁡ a + b + cos ⁡ a - b

calcule:

a )   ∫ cos ⁡ ( x ) cos ⁡ ( 5 x ) d x

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Vamos resolver essa questão utilizando o que nos foi dado no enunciado, caso você não reconheça a expressão no enunciado, você pode demonstrar ela utilizando que:

cos ⁡ ( A ± B ) = cos ⁡ ( A ) cos ⁡ ( B ) ∓ sin ⁡ A sin ⁡ B

Mas para nós, apenas precisamos utilizar o que nos foi dado! Vamos partir daí! Bora lá!

Passo 2

A primeira coisa é reescrever o nosso integrando utilizando a dica no enunciado! Temos que a = x e b = 5 x . Ou seja, temos que:

∫ cos ⁡ ( x ) cos ⁡ ( 5 x ) d x = ∫ 1 2 ( cos ⁡ 6 x + cos ⁡ ( - 4 x ) )

Precisamos aplicar propriedades do cosseno e da integração, belezinha?

Passo 3

De cara, nós temos que:

∫ cos ⁡ ( a x ) d x = 1 a sin ⁡ a x + C           ( 2 )

Não vamos esquecer da constante de integração, beleza? Também vale a pena lembrar que:

∫ [ a f x + b g ( x ) ] d x = a ∫ f ( x ) d x + b ∫ g ( x ) d x           ( 3 )

Bora usar isso para resolver a integral!

Passo 4

Usando a propriedade (3), temos que:

∫ 1 2 ( cos ⁡ 6 x + cos ⁡ ( - 4 x ) ) d x = 1 2 ∫ cos ⁡ ( 6 x ) d x + 1 2 ∫ cos ⁡ ( - 4 x ) d x

Se lembrarmos que cos ⁡ ( - 4 x ) = cos ⁡ ( 4 x ) , podemos aplicar (2) da seguinte forma:

1 2 ∫ cos ⁡ ( 6 x ) d x + 1 2 ∫ cos ⁡ ( 4 x ) d x = 1 2 1 6 sin ⁡ ( 6 x ) + C 1 + 1 2 1 4 sin ⁡ ( 4 x ) + C 2

Vamos só reescrever um pouquinho! E já era! Bora lá!

Passo 5

Temos que:

1 2 1 6 sin ⁡ ( 6 x ) + C 1 + 1 2 1 4 sin ⁡ ( 4 x ) + C 2 = 1 12 sin ⁡ ( 6 x ) + 1 8 sin ⁡ ( 4 x ) + C 3

Primeira alternativa foi! Bora para a próxima!

Resposta

∫ cos ⁡ ( x ) cos ⁡ ( 5 x ) d x = 1 12 sin ⁡ ( 6 x ) + 1 8 sin ⁡ ( 4 x ) + C 3

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