Calcule as integrais abaixo.

k )   ∫ 0 π / 3 t g 5 x sec 4 ⁡ x d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão integral complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema nos deu essa integral trigonométrica para resolver:

∫ 0 π 3 t g 5 x sec 4 ⁡ x d x

Mas você já sabe que sem manipular esse integrando, não vai rolar integrar nada! Eu vou te sugerir uma coisa: sempre que tiver tangente com expoente ímpar substitui pelo equivalente a senos e cossenos (nesse caso, a secante também) e usa a identidade trigonométrica

s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1

Assim você vai poder colocar alguém como u (seja seno ou cosseno) e o d u vai estar ali também!

Então a ideia aqui é transformar essa tangente/secante em senos e cossenos, usar a identidade trigonométrica e integrar pelo método da substituição

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral indefinida é a seguinte:

∫ t g 5 x sec 4 ⁡ x   d x

Então vamos primeiro manipular esse integrando. Sabendo que t g x = s e n x cos ⁡ x e que s e c x = 1 cos ⁡ x ,

t g 5 x sec 4 ⁡ x d x = s e n 5 x cos 5 ⁡ x . 1 cos 4 ⁡ x d x = sen 2 ⁡ x . sen 2 ⁡ x . s e n x   d x cos 9 ⁡ x

E usando a identidade trigonométrica sen 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

t g 5 x sec 4 ⁡ x d x = 1 - cos 2 ⁡ x . 1 - cos 2 ⁡ x . s e n x   d x cos 9 ⁡ x = 1 - 2 cos 2 ⁡ x + cos 4 ⁡ x s e n x   d x cos 9 ⁡ x

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos usar a substituição

u = cos ⁡ x

Pois temos no numerador

- d u = s e n   x   d x

Aí o integrando fica:

1 - 2 cos 2 ⁡ x + cos 4 ⁡ x s e n x   d x cos 9 ⁡ x = - 1 - 2 u 2 + u 4 d u u 9

Assim ficamos com um integrando puramente polinomial!

Vamos separar em três integrais diferentes, todas com denominador u 9 , fazer as simplificações e #partiu integrar!

∫ t g 5 x sec 4 ⁡ x d x = - ∫ 1 u 9 d u + 2 ∫ 1 u 7 d u - ∫ 1 u 5 d u

= 1 8 u 8 - 2 6 u 6 + 1 4 u 4

E agora voltando para x , lembrando que u = cos ⁡ x :

∫ t g 5 x sec 4 ⁡ x d x = 1 8 ( cos ⁡ x ) 8 - 1 3 ( cos ⁡ x ) 6 + 1 4 ( cos ⁡ x ) 4

E por fim, temos que 1 cos ⁡ x = sec ⁡ x , temos nosso resultado final:

∫ t g 5 x sec 4 ⁡ x   d x = 1 8 s e c 8 x - 1 3 s e c 6 x + 1 4 sec 4 ⁡ x

Terminou? Não!

Calma, agora só falta aplicar nos limites de integração! Lembra que temos uma integral definida!

Passo 4

Nossa integral era:

∫ 0 π / 3 t g 5 x sec 4 ⁡ x d x

Agora vamos usar o resultado do passo anterior e aplicar os limites:

∫ 0 π / 3 t g 5 x sec 4 ⁡ x d x = 1 8 s e c 8 x - 1 3 s e c 6 x + 1 4 sec 4 ⁡ x 0 π / 3

Aí temos

= 1 8 s e c 8 π 3 - 1 3 s e c 6 π 3 + 1 4 sec 4 ⁡ π 3 - 1 8 s e c 8 0 - 1 3 s e c 6 0 + 1 4 sec 4 ⁡ 0

= 1 8 2 8 - 1 3 2 6 + 1 4 2 4 - 1 8 + 1 3 - 1 4

Simplificando temos o resultado final:

= 2 5 - 64 3 + 4 - 3 8 + 1 3 = 864 - 504 - 9 24 = 351 24 = 117 8

Ufa agora sim terminamos!

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

117 8

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