Calcule as seguintes integrais:

b) ∫ 1 x 2 + 1 3 2 d x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão foi dada uma integral pra a gente calcular em que a função de integração é dada por 1 x 2 + 1 3 / 2 .

Se a gente for calcular a integral do jeito que a função está vai dar um trabalho enorme então o maior desafio é conseguir visualizar a transformação que temos que fazer pra possibilitar o cálculo dessa integral.

E aí! Tem ideia do que podemos fazer pra facilitar nossa integral?? 🤔🤔

Uma maneira não muito intuitiva e muitas vezes nem um pouco fácil de ser visualizada é o método de substituição de variáveis por funções trigonométricas.

A praticidade desse método é que podemos fazer relações trigonométricas pra simplificar nossa função de integração.

Bora ver como podemos desenvolver esse problema? 😁

Passo 2

Se a gente substituir x por tan ⁡ θ , derivando x com relação a θ , temos

d x d θ = d tan ⁡ θ d θ = s e c 2 θ

Isolando d x

d x = s e c 2 θ d θ

Substituindo x e d x na integral, vamos obter

∫ s e c 2 θ tan 2 ⁡ θ + 1 3 2 d θ

Mas o que é tan 2 ⁡ θ + 1 ?

Pelas relações trigonométricas, isso é igual a sec 2 ⁡ θ

Fazendo essa substituição na integral, temos

∫ s e c 2 θ sec 2 ⁡ θ 3 2 d θ

Um número elevado a n que está elevado a k , por exemplo em C n k , o resultado do expoente em C é o produto entre n e k . no denominador da nossa função de integração é a mesma coisa.

Simplificando essa parte, temos

sec 2 ⁡ θ 3 2 = sec 2 · 3 2 ⁡ θ = s e c 3 θ

Substituindo essa informação na integral

∫ s e c 2 θ s e c 3 θ d θ

Simplificando nossa função, temos

∫ 1 sec ⁡ θ d θ

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Por fim, qual a relação trigonométrica que podemos fazer com 1 sec ⁡ θ ?

Em alguma parte do ensino médio ou da faculdade já vimos que 1 sec ⁡ θ = cos ⁡ θ

Portanto nossa integral final será

∫ cos ⁡ θ d θ

Pelo teorema fundamental do cálculo a integral do cosseno é igual ao seno, ou seja

∫ cos ⁡ θ d θ = s e n θ + C

Nesse momento a gente fica topo

Mas se a gente lembrar do triangulo de Pitágoras, temos que a soma do quadrado dos dois catetos resulta na hipotenusa, ou seja com a substituição que fizemos lá no início, temos

Qual é o seno de um ângulo? O cateto adjacente sobre a hipotenusa, não é? Logo

s e n θ = 1 x 2 + 1

Logo o resultado da nossa integral será

∫ 1 x 2 + 1 3 2 d x = 1 x 2 + 1 + C

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ 1 x 2 + 1 3 2 d x = 1 x 2 + 1 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x ,s en for um inteiro positivo maior do que 1.
Calcule a integral int_0^((pi)/(4)) sec (theta) tan (theta) d theta
Calcular a área da região limitada por y = tg^3 x , y = 1 e x = 0 .
Calcule a integral.int s e n^2 (pi x) cos^5 ( pi x ) d x
Calcule a integral.int s e n^6 (pi x) d x