Calcule as integrais abaixo.

n )   ∫ t g 2 x sec ⁡ x d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão integral complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema nos deu essa integral trigonométrica para resolver:

∫ t g 2 x sec ⁡ x d x

Mas manipulando o integrando, podemos chegar a alguma coisa mais simpática! Mas como saber o que manipular? Te respondo: Sempre que houver tangente com expoente par: tente se livrar ao máximo de todas as tangentes!

Aqui vamos usar a identidade trigonométrica

t g 2 x + 1 = sec 2 ⁡ x

E substituir no integrando:

∫ t g 2 x sec ⁡ x d x = ∫ - 1 + s e c 2 x sec ⁡ x d x = - ∫ sec ⁡ x d x + ∫ sec 3 ⁡ x d x

Então agora nossa missão passa a resolver essas duas integrais!

Mas relaxa, vou fazer com você passo a passo!

Passo 2

A primeira integral é tabelada:

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ t g   x + sec ⁡ x

Mas a segunda não:

∫ sec 3 ⁡ x   d x

E quando você vir um integrando que não tem função-derivada da função dentro dele (que é nosso caso) você testa o método de integração por partes! Como vimos lá na lista de integração por partes, temos uma lista que vai te ajudar a separar esse integrando em uma parte para integrar e outra para derivar, é o nosso LIATE:

u , mas também d v ! Ué, mas como assim?

Lembrando que no método por partes precisamos integrar uma parte do integrando, e sabemos a integral de sec 2 ⁡ x !

Usando o método de integração por partes, com

u   = sec ⁡ x

d v = sec 2 ⁡ x d x

Poderemos integrar essa coisa!

Passo 3

Relembrar é viver, então vamos ao método de por partes:

 

Aí como comentei no passo anterior, nossa escolha para u ,   d v e os valores de d u ,   v são:

agora vamos aplicar na fórmula do método:

∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x t g   x - ∫ t g 2   x sec ⁡ x d x

Vamos guardar esse resultado!

Tudo bem até aqui? Nossa missão agora é calcular aquela integral que surgiu na direita! Vamos lá?

Passo 4

A integral que surgiu na direita é:

∫ t g 2   x sec ⁡ x d x

Agora anota aí um ponto bem importante em trigonométricas: quando o integrando tiver tangente e secante, optar sempre por transformar tudo em secante! Tudo que for possível!

Então aqui vamos usar a identidade trigonométrica que envolve a tangente e a secante:

t g 2 x + 1 = sec 2 ⁡ x

E substituir na integração:

∫ t g 2   x sec ⁡ x d x = ∫ ( sec 2 ⁡ x - 1 ) sec ⁡ x d x = ∫ sec 3 ⁡ x d x - ∫ sec ⁡ x d x

Vamos devolver esse resultado no passo 3?

Passo 5

Resgatando o resultado do passo 3:

∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x t g   x - ∫ t g 2   x sec ⁡ x d x

E substituindo a integral do lado direito:

∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x t g   x - ∫ sec 3 ⁡ x d x - ∫ sec ⁡ x d x

Parece que ficou maior, mas te garanto que ficou melhor! Vamos retirar as integrais dos colchetes:

∫ sec 3 ⁡ x d x ⏝ = sec ⁡ x t g   x - ∫ sec 3 ⁡ x d x ⏝ + ∫ sec ⁡ x d x

Olha só o que temos! Achamos a mesma integral que estamos calculando do lado esquerdo! Então podemos juntar elas:

2 ∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x t g   x - ∫ sec ⁡ x d x

E resolver a integral da secante do lado direito (ela é tabelada! Uhul!):

2 ∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x t g   x - ln ⁡ | sec ⁡ x + t g   x |

Agora é só isolar a integral da secante ao cubo:

∫ sec 3 ⁡ x d x = 1 2 sec ⁡ x t g   x - 1 2 ln ⁡ sec ⁡ x + t g   x

Passo 6

E por fim vamos juntar esse resultado à nossa integral! Nossa integral era:

∫ t g 2 x sec ⁡ x d x

Aí separamos em duas:

= - ∫ sec ⁡ x d x + ∫ sec 3 ⁡ x d x

A primeira é tabelada e a segunda calculamos agora pouco:

= - ln ⁡ t g   x + sec ⁡ x + 1 2 sec ⁡ x t g   x + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ x + t g   x

Podemos juntar os termos semelhantes e ter o resultado final:

∫ t g 2 x sec ⁡ x d x = - 1 2 ln ⁡ sec ⁡ x + t g   x + 1 2 sec ⁡ x t g   x + C

Não esquece de acrescentar o + C no final! Estamos calculando uma integral indefinida!

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

∫ t g 2 x sec ⁡ x d x = - 1 2 ln ⁡ sec ⁡ x + t g   x + 1 2 sec ⁡ x t g   x + C

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