Calcule as integrais indefinidas abaixo:

35 )   ∫ cos 2 ⁡ x d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ cos 2 ⁡ x d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como esse integrando não está exatamente na tabela de integrais, precisamos verificar se podemos aplicar a primeira técnica: substituição simples!

Podemos usar ela quando temos no integrando o produto da função com sua derivada. Ou seja, se no integrando, você enxerga uma parte como sendo u e outra o diferencial d u

Beleza?

E depois? Depois vamos fazer uma substituição simples! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida! E no fim? No fim precisamos retornar para x que é nossa variável original!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar reescrevendo o integrando com a identidade trigonométrica do cosseno ao quadrado:

cos 2 ⁡ x = 1 2 + cos ⁡ 2 x 2

Aí nossa integral fica

∫ cos 2 ⁡ x d x = 1 2 ∫ d x + 1 2 ∫ cos ⁡ 2 x d x

chamando u = 2 x assim d u = 2   d x

Aí nossa integral fica assim

= 1 2 x + 1 2 . 1 2 ∫ cos ⁡ u d u

Beleza?

Agora é só integrar!

= x 2 + 1 4 sin ⁡ u + C

nosso integrando ficou bem mais tranquilo né?

Passo 3

Agora vamos voltar para a variável original!

u = 2 x

Aí nossa integral

= x 2 + 1 4 sin ⁡ u + C

= x 2 + 1 4 sin ⁡ 2 x + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

x 2 + 1 4 sin ⁡ 2 x + C

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