Encontre o comprimento do arco do gráfico da equação dada entre os pontos P e Q ou no intervalo especificado.

c) ln ⁡ ( cos ⁡ x )               0 , π 4

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Bom, pede-se o comprimento de um arco, ou seja, o comprimento da linha de uma função de um ponto até o outro.

E o comprimento do arco que queremos saber é esse:

De um ponto na linha verde até o outro.

Duas coisas precisamos ter em mente quando queremos calcular o comprimento de um arco: saber derivar e a seguinte formula na qual aplicamos essa integração:

L = ∫ a b f ' x 2 + 1     d x

Onde f ( x ) é a função, “a” e “b” os limites de integração

Bom, já tendo a faca e o queijo na mão, vamos lá?

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Temos a função f ( x ) , vamos derivá-la?

d d x ln ⁡ cos ⁡ ( x = 1 cos ⁡ x - sin ⁡ x = - tan ⁡ x

Agora vamos aplicas essa derivada na nossa fórmula do comprimento do arco.

L = ∫ a b - tan ⁡ x 2 + 1     d x

Vamos aplicar o limite dado:

L = ∫ 0 π 4 tan 2 ⁡ ( x ) + 1     d x

Sabemos de uma propriedade trigonométrica tan 2 ⁡ ( x ) + 1 = sec 2 ⁡ ( x ) , substituindo:

L = ∫ 0 π 4 sec ⁡ x   d x

Passo 3

Temos uma técnica de integração já conhecida. Ela aparece na tabela de técnicas de integração no fim dos livros de cálculos. É útil sempre a usarmos. Isto é:

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x

Assim:

L = ∫ 0 π 4 sec ⁡ x   d x = ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x 0 π 4

Logo:

ln ⁡ | sec ⁡ π 4 + tan ⁡ π 4 - ln ⁡ sec ⁡ 0 + tan ⁡ 0 )    

ln ⁡ 2 2 + 1 - ln ⁡ 1 + 0

Mas ln ⁡ 1 = 0

Portanto:

L = ln ⁡ 2 2 + 1

O comprimento do arco vale ln ⁡ 2 2 + 1 unidades.

Valeu, carinha.

Resposta

L = ln ⁡ 2 2 + 1

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