Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Calcule a integral:

∫ sen ⁡ x 4 - cos 2 ⁡ x d x

Passo 1

Podemos fazer a substituição:

u = cos ⁡ x

Ficando com:

d u = - sen ⁡ x d x

E:

∫ sen ⁡ x 4 - cos 2 ⁡ x d x = - ∫ d u 4 - u 2 = ∫ d u u + 2 u - 2

Passo 2

Podemos usar a integral por frações parciais e escrever o integrando na forma: 1 u + 2 u - 2 = A u + 2 + B u - 2

Juntando tudo:

A u - 2 + B u + 2 u + 2 u - 2 = A + B u + 2 ( B - A ) u + 2 u - 2 = 1 u + 2 u - 2

Comparando os coeficientes, temos:

A + B = 0 2 B - 2 A = 1

Resolvendo o sistema, obtemos:

A = - 1 4 B = 1 4

Ou seja:

1 u + 2 u - 2 = 1 4 1 u - 2 - 1 u + 2

Passo 3

Ou seja, podemos escrever a integral da seguinte forma:

∫ d u u + 2 u - 2 = 1 4 ∫ d u u - 2 - 1 4 ∫ d u u + 2 = 1 4 ln ⁡ u - 2 - 1 4 ln ⁡ u + 2 + C

= 1 4 ln ⁡ u - 2 u + 2 + C

Lembrando que u = cos ⁡ x , ficamos com:

∫ sen ⁡ x 4 - cos 2 ⁡ x d x = 1 4 ln ⁡ u - 2 u + 2 + C

Resposta

∫ sen ⁡ x 4 - cos 2 ⁡ x d x = 1 4 ln ⁡ u - 2 u + 2 + C

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