Usando a técnica do exercício anterior calcule:

a) ∫ sin ⁡ ( 6 x ) cos ⁡ ( x ) d x  

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Que enunciado seco neh? Mas vamo que vamo! Primeira coisa, o que é a “técnica” do exercício anterior?

A técnica é utilizar a seguinte relação:

sin ⁡ ( a ) cos ⁡ ( b ) = 1 2 sin ⁡ ( a + b ) + sin ⁡ ( a - b )           ( 1 )

Consegue adivinhar o que fazer agora? Bora lá!

Passo 2

Primeiro vamos identificar comparando a equação (1) com o integrando no enunciado, ou seja:

a = 6 x       e       b = x

Portanto, podemos escrever a nossa integral como:

∫ 1 2 ( sin ⁡ 7 x + sin ⁡ ( 5 x ) ) d x

Agora, para resolver isso, vamos lembrar algumas coisinhas! Beleza?

Passo 3

Nós temos que:

∫ sin ⁡ ( a x ) d x = - 1 a cos ⁡ a x + C           ( 2 )

Não podemos de jeito nenhum esquecer a constante e integração! Também vale a pena lembrar que:

∫ [ a f x + b g ( x ) ] d x = a ∫ f ( x ) d x + b ∫ g ( x ) d x           ( 3 )

Bora usar isso para resolver a integral!

Passo 4

Se usarmos a equação (3), temos:

∫ 1 2 ( sin ⁡ 7 x + sin ⁡ ( 5 x ) ) d x = 1 2 ∫ sin ⁡ ( 7 x ) d x + 1 2 ∫ sin ⁡ ( 5 x ) d x

Aplicando a equação (2), temos que:

1 2 ∫ sin ⁡ ( 7 x ) d x + 1 2 ∫ sin ⁡ ( 5 x ) d x = 1 2 × - 1 7 cos ⁡ 7 x + C 1 + 1 2 × - 1 5 cos ⁡ 5 x + C 2

Aplicando a propriedade distributiva (chuveirinho), temos que:

1 2 × - 1 7 cos ⁡ 7 x + C 1 + 1 2 × - 1 5 cos ⁡ 5 x + C 2 = - 1 14 cos ⁡ 7 x - 1 10 cos ⁡ 5 x + C 3

No final eu juntei todas as constantes como C 3 = 1 2 C 1 + 1 2 C 2 . A nossa resposta final é então:

∫ sin ⁡ ( 6 x ) cos ⁡ ( x ) d x = - 1 14 cos ⁡ 7 x - 1 10 cos ⁡ 5 x + C 3

A primeira alternativa é isso! Vamos para a próxima!

Resposta

∫ sin ⁡ ( 6 x ) cos ⁡ ( x ) d x = - 1 14 cos ⁡ 7 x - 1 10 cos ⁡ 5 x + C 3

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