Calcule as integrais indefinidas abaixo:

21 )   ∫ sin ⁡ 2 x 1 + cos 2 ⁡ x d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ sin ⁡ 2 x 1 + cos 2 ⁡ x d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como esse integrando não está exatamente na tabela de integrais, precisamos verificar se podemos aplicar a primeira técnica: substituição simples!

Podemos usar ela quando temos no integrando o produto da função com sua derivada. Ou seja, se no integrando, você enxerga uma parte como sendo u e outra o diferencial d u

Beleza?

E depois? Depois vamos fazer uma substituição simples! O resultado deverá ser uma integral mais fácil de ser resolvida! E no fim? No fim precisamos retornar para x que é nossa variável original!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar lembrando que sin ⁡ 2 x = 2 sin ⁡ x cos ⁡ x . Aí podemos chamar u = 1 + cos 2 ⁡ x , assim d u = - 2 cos ⁡ x sin ⁡ x   d x

Aí nossa integral fica assim

∫ sin ⁡ 2 x 1 + cos 2 ⁡ x d x = ∫ 2 sin ⁡ x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d x = - ∫ d u u

Beleza?

Agora é só integrar!

= - ln ⁡ u + C

nosso integrando ficou bem mais tranquilo de integrar né?

Passo 3

Agora vamos voltar para a variável original!

u = 1 + cos 2 ⁡ x

Aí nossa integral

- ln ⁡ u + C = - ln ⁡ ( 1 + cos 2 ⁡ x ) + C

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

- ln ⁡ ( 1 + cos 2 ⁡ x ) + C

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