Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Calcule as integrais:

d   ∫ sen ⁡ x 5 d x

Passo 1

Essa á uma integral trigonométrica. Temos o seno elevado a um expoente ímpar. Vou separar um seno e abrir o resto em função de cosseno, uma vez que eu tenho:

sen 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

E ainda que

u = cos ⁡ x → d u = - sen ⁡ x d x

Então vamos abrindo a integral:

∫ sen ⁡ x 5 d x = - ∫ sen 4 ⁡ x - sen ⁡ x d x

= - ∫ 1 - cos 2 ⁡ x 2 - sen ⁡ x d x

= - ∫ 1 - 2 cos 2 ⁡ x + cos 4 ⁡ x - sen ⁡ x d x

Passo 2

Vamos fazer a substituição que eu tinha indicado ali em cima:

- ∫ 1 - 2 cos 2 ⁡ x + cos 4 ⁡ x - sen ⁡ x d x

= - ∫ 1 - 2 u 2 + u 4 d u

= - u - 2 u 3 3 + u 5 5

Desfazemos a substituição e pronto:

= - cos ⁡ x + 2 cos 3 ⁡ x 3 - cos 5 ⁡ x 5 + C

Resposta

∫ sen ⁡ x 5 d x = - cos ⁡ x + 2 cos 3 ⁡ x 3 - cos 5 ⁡ x 5 + C

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