Calcule as integrais:

e) ∫ sin ⁡ 4 x cos ⁡ 2 x d x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente resolver a integral:

∫ sin ⁡ 4 x cos ⁡ 2 x d x

Vamos pensar em como resolvê-la. Aqui a gente tem um produto de funções trigonométricas, o que complica um pouco a nossa vida. Não seria legal se fosse uma soma ou uma subtração?

Seria, e é possível a gente transformar esse produto em algo assim, que é mais fácil de resolver. Pra isso, nós podemos usar a propriedade trigonométrica:

sin ⁡ α ± β = sin ⁡ α cos ⁡ β ± sin ⁡ β cos ⁡ α

Onde α e β são dois ângulos diferentes. No caso da nossa função, esses ângulos são 2 x e 4 x . Nós vamos usar essa fórmula para conseguir escrever a nossa função sin ⁡ 4 x cos ⁡ 2 x como uma adição ou subtração, e daí resolver a integral de uma forma mais simples.

Vamos lá!

Passo 2

Então, substituindo na fórmula, temos:

sin ⁡ 4 x + 2 x = sin ⁡ 4 x cos ⁡ 2 x + sin ⁡ 2 x cos ⁡ ( 4 x )

sin ⁡ 4 x - 2 x = sin ⁡ 4 x cos ⁡ 2 x - sin ⁡ 2 x cos ⁡ ( 4 x )

Agora vamos subtraindo uma equação da outra, nós temos:

sin ⁡ ( 4 x + 2 x ) - sin ⁡ 4 x - 2 x = sin ⁡ 2 x cos ⁡ ( 4 x ) + sin ⁡ 2 x cos ⁡ ( 4 x )

sin ⁡ ( 6 x ) - sin ⁡ ( 2 x ) = 2 sin ⁡ 2 x cos ⁡ ( 4 x )

E olha só quem apareceu, a nossa função original sin ⁡ 2 x cos ⁡ ( 4 x ) . Isolando ela, temos:

sin ⁡ 2 x cos ⁡ ( 4 x ) = 1 2 sin ⁡ ( 6 x ) - sin ⁡ ( 2 x )

Encontramos uma subtração que vai ser mais simples de integrar, como nós queríamos. Agora vamos integrar.

Passo 3

Substituindo o resultado do passo 2 na integral, temos:

∫ sin ⁡ 2 x cos ⁡ ( 4 x ) d x = ∫ 1 2 sin ⁡ ( 6 x ) - sin ⁡ ( 2 x ) d x

Jogando a constante para fora da integral:

1 2 ∫ sin ⁡ ( 6 x ) - sin ⁡ ( 2 x ) d x

Nós podemos separar essa subtração em duas integrais, na forma:

1 2 ∫ sin ⁡ ( 6 x ) d x - ∫ sin ⁡ ( 2 x )   d x

Vamos resolver cada uma separadamente. Começando com ∫ sin ⁡ ( 6 x ) d x , vamos chamar:

u = 6 x

Derivando:

d u = 6 d x → d x = 1 6 d u

Substituindo na integral e resolvendo, temos:

∫ sin ⁡ ( u ) 1 6 d u

1 6 ∫ sin ⁡ ( u ) d u = - 1 6 cos ⁡ u

Voltando a nossa variável x original:

∫ sin ⁡ ( 6 x ) d x = - 1 6 cos ⁡ ( 6 x )

Passo 4

Agora para ∫ sin ⁡ ( 2 x )   d x , vamos chamar:

a = 2 x

Derivando:

d a = 2   d x → d x = 1 2 d a

Substituindo na integral:

∫ sin ⁡ a 1 2 d a = 1 2 ∫ sin ⁡ a   d a

= 1 2 cos ⁡ a

Voltando à variável x :

∫ sin ⁡ ( 2 x )   d x = 1 2 cos ⁡ ( 2 x )

Agora juntando tudo na nossa integral original, temos:

∫ sin ⁡ 4 x cos ⁡ 2 x d x = 1 2 ∫ sin ⁡ ( 6 x ) d x - ∫ sin ⁡ 2 x   d x

= 1 2 - 1 6 cos ⁡ 6 x - 1 2 cos ⁡ 2 x

= - 1 12 cos ⁡ 6 x - 1 4 cos ⁡ ( 2 x )

E encontramos nosso resultado. Valeu, galera! 😉

Resposta

- 1 12 cos ⁡ 6 x - 1 4 cos ⁡ ( 2 x )

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