Calcule as integrais abaixo.

p )   ∫ s e n ( 3 x ) c o s ( 5 x ) d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão integral complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema nos deu essa integral trigonométrica para resolver:

∫ s e n ( 3 x ) c o s ( 5 x ) d x

essa é um caso muito especial de integração. No nosso material está em “Métodos de Integração – Parte II: Integrais trigonométricas”, mas especificamente no caso 5:

e como resolvemos esses tipos de integrais? Usando as seguintes identidades trigonométricas:

Então a ideia aqui é transformar esse integrando que é um produto de trigonométricas em soma de funções trigonométricas, muito mais simples para integrar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Precisamos integrar a seguinte coisa:

∫ s e n ( 3 x ) c o s ( 5 x ) d x

Então estamos no caso em que temos

∫ s e n ( x ' ) c o s ( y ' ) d x

Com x ' = 3 e y ' = 5 . Usando a primeira identidade

s e n x ' c o s y ' = 1 2 sen ⁡ x ' + y ' + sen ⁡ x ' - y '

E aí nosso integrando fica assim:

s e n ( 3 x ) c o s ( 5 x ) = 1 2 sen ⁡ 8 x + sen ⁡ - 2 x

Tudo bem até aqui? Nossa missão agora é calcular a integral! Vamos lá?

Passo 3

A integral que temos para resolver é:

∫ s e n 3 x c o s 5 x d x = 1 2 ∫ sen ⁡ 8 x + sen ⁡ - 2 x d x

Integrando temos:

= 1 2 - 1 8 c o s 8 x + 1 2 c o s - 2 x = - c o s 8 x 16 + c o s 2 x 4 + C

Não esquece de acrescentar o + C no final! Estamos calculando uma integral indefinida!

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

- c o s 8 x 16 + c o s 2 x 4 + C

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