Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Calcule a integral do produto ou quociente de potenciais de funções trigonométricas.

∫ tan 3 ⁡ x sec ⁡ x d x

Passo 1

O cálculo dessa integral passa pelo Caso em que a tangente tem expoente ímpar.

Queremos fazer

u = sec ⁡ x

Para isso devemos ter na integral tan ⁡ x sec ⁡ x

Vamos separar uma dessas tangente e uma das secantes, vai ficar

∫ tan 3 ⁡ x sec ⁡ x d x = ∫ tan 3 ⁡ x sec 1 / 2 ⁡ x d x = ∫ tan 2 ⁡ x sec 1 / 2 - 1 ⁡ x . tan ⁡ x sec ⁡ x d x

⟹ ∫ tan 2 ⁡ x sec - 1 / 2 ⁡ x . tan ⁡ x sec ⁡ x d x

Passo 2

Agora substituímos

tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1

∫ tan 2 ⁡ x sec - 1 / 2 ⁡ x . tan ⁡ x sec ⁡ x d x = ∫ sec 2 ⁡ x - 1 sec - 1 / 2 ⁡ x . tan ⁡ x sec ⁡ x d x

Tudo pronto agora é só fazer

u = sec ⁡ x

Isso porque d u = tan ⁡ x sec ⁡ x d x

∫ u 2 - 1 2 u - 1 / 2 d u

Passo 3

Vamos resolver essa integral agora

∫ u 2 - 1 u - 1 / 2 d u

Fazendo um algebrismo temos

∫ u 2 - 1 u - 1 / 2 d u = ∫ u 3 / 2 - u - 1 / 2 d u = u 5 / 2 5 / 2 - u 1 / 2 1 / 2 + C = 2 u 5 / 2 5 - 2 u 1 / 2 + C

Passo 4

Precisamos voltar com o x , desubstituindo

∫ tan 3 ⁡ x sec ⁡ x d x = 2 sec ⁡ x 5 / 2 5 - 2 sec ⁡ x 1 / 2 + C

Resposta

2 sec ⁡ x 5 / 2 5 - 2 sec ⁡ x 1 / 2 + C

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Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x
Calcule a integral ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ
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Calcule a integral. ∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x