Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Calcule as seguintes integrais.

a   ∫ cos 5 ⁡ ( x ) sen 3 ⁡ ( x ) d x

Passo 1

Vamos começar separando um seno desses 3 que temos aí:

∫ cos 5 ⁡ ( x ) sen 3 ⁡ ( x ) d x = ∫ cos 5 ⁡ x sen 2 ⁡ x ( sen ⁡ x d x )

Vai, agora por que eu fiz isso? É o caso 2 da nossa teoria! Da para abrir o seno ao quadrado ali em cossenos. A partir daí fazemos uma substituição com o cosseno e esse seno que eu separei será usado como derivada da substituição.

∫ cos 5 ⁡ x sen 2 ⁡ x sen ⁡ x d x = ∫ cos 5 ⁡ x 1 - cos 2 ⁡ x sen ⁡ x d x

∫ cos 5 ⁡ x - cos 7 ⁡ x sen ⁡ x d x

u = cos ⁡ ( x ) ; d u = - sen ⁡ ( x ) d x

∫ cos 5 ⁡ x - cos 7 ⁡ x sen ⁡ x d x = - ∫ u 5 - u 7 d u

= - u 6 6 - u 8 8 + C = - cos 6 ⁡ x 6 + cos 8 ⁡ x 8 + C

Resposta

∫ cos 5 ⁡ ( x ) sen 3 ⁡ ( x ) d x = - cos 6 ⁡ x 6 + cos 8 ⁡ ( x ) 8 + C

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