Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

Ver Teoria

Enunciado

Calcule a integral:

∫ 0 π 6 cos 3 ⁡ x   d x

Passo 1

Primeira coisa a se fazer nesse problema é reescrever a expressão que queremos integrar, pra depois escolhermos uma substituição adequada. Então vamos usar a relação fundamental:

s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1

cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 x

E reescrever a integral da seguinte maneira:

∫ 0 π 6 cos 2 ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ 0 π 6 1 - s e n 2 x cos ⁡ x d x

E então:

∫ 0 π 6 cos 3 ⁡ x   d x = ∫ 0 π 6 cos ⁡ x d x - ∫ 0 π 6 s e n 2 x cos ⁡ x d x

Passo 2

Agora temos duas integrais pra resolver, sendo a primeira imediata:

∫ 0 π 6 cos ⁡ x d x = s e n x = s e n π 6 - s e n 0 = 1 2  

Na segunda integral, vamos utilizar a substituição u = s e n x , que nos indica que d u = cos ⁡ x d x , e reescrever a integral assim:

∫ 0 π 6 s e n 2 x cos ⁡ x d x = ∫ 0 1 2 u 2 d u

E repare que os limites de integração foram alterados!!! E foram alterados seguindo a substituição que escolhemos. Veja só:

S e   x = 0 → u = s e n 0 = 0

S e   x = π 6 → u = s e n π 6 = 1 2

Portanto os limites foram alterado pra variável u !! Resolvendo então a segunda integral na variável u , temos:

∫ 0 1 2 u 2 d u = u 3 3 = 1 2 3 3 - 0 3 3 = 1 24

Passo 3

Tudo que temos que fazer agora é subtrair a segunda integral da primeira:

∫ 0 π 6 cos 3 ⁡ x   d x = ∫ 0 π 6 cos ⁡ x d x - ∫ 0 π 6 s e n 2 x cos ⁡ x d x = 1 2 - 1 24 = 11 24

Resposta

∫ 0 π 6 cos 3 ⁡ x   d x = 11 24

Exercícios de Livros Relacionados

Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x
Calcule a integral ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ
Calcular a área da região limitada por y = tg 3 ⁡ x , y = 1 e x = 0 .
Calcule a integral. ∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x