Calcule as integrais abaixo.

a )   ∫ 0 π 2 cos 5 ⁡ x d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão integral complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema nos deu essa integral trigonométrica para resolver:

∫ 0 π 2 cos 5 ⁡ x d x

Mas calma! Como vimos lá na lista de integração por substituição, você está autorizado a usar truques sujos! Isso mesmo: truquinhos que vão te ajudar a separar esse integrando e identificar uma substituição que seja favorável para você!

u ,   d u , pois um pode ser escrito como a derivada do outro!

Então a ideia aqui é a seguinte: usar a relação fundamental da trigonometria para ter seno/cosseno nesse integrando e usar o método da substituição simples para resolver! Ah, e depois aplicar nos limites de integração, claro!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral é:

∫ 0 π 2 cos 5 ⁡ x d x

Podemos separar o integrando da seguinte forma:

cos 5 ⁡ x = cos 2 ⁡ x 2 cos ⁡ x

E usar a relação fundamental

cos 2 ⁡ x + s e n 2 x = 1 → cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 x

Aí nosso integrando fica:

cos 5 ⁡ x = 1 - s e n 2 x 2 cos ⁡ x

Agora vamos substituir dentro da integral:

∫ 0 π 2 cos 5 ⁡ x d x = ∫ 0 π 2 1 - s e n 2 x 2 cos ⁡ x d x

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos resolver a integral indefinida:

∫ 1 - s e n 2 x 2 cos ⁡ x d x

E no final aplicar os limites, ok?

Podemos chamar u = s e n   x e assim d u = cos ⁡ x d x . Nossa integral fica assim:

∫ 1 - u 2 2 d u

Ficamos com uma integração de potência! Vamos integrar? Vou abrir o integrando para facilitar

∫ 1 - u 2 2 d u = ∫ 1 - 2 u 2 + u 4 d u

E integrar:

∫ 1 - 2 u 2 + u 4 d u = u - 2 u 3 3 + u 5 5

E agora vamos voltar para x , lembrando que u = s e n x :

∫ 1 - s e n 2 x 2 cos ⁡ x d x = ( s e n x ) - 2 ( s e n x ) 3 3 + ( s e n x ) 5 5

Tudo bem até aqui?

Passo 4

Agora vamos aplicar nos limites? Bora resgatar os limites lá do passo 2:

∫ 0 π 2 cos 5 ⁡ x d x

Transformamos o integrando e calculamos a integral:

∫ 1 - s e n 2 x 2 cos ⁡ x d x = ( s e n x ) - 2 ( s e n x ) 3 3 + ( s e n x ) 5 5

Então agora é só substituir:

∫ 0 π 2 cos 5 ⁡ x d x = ( s e n x ) - 2 ( s e n x ) 3 3 + ( s e n x ) 5 5 0 π / 2 = s e n π 2 - 2 s e n π 2 3 3 + s e n π 2 5 5 - [ ( s e n 0 ) - 2 ( s e n 0 ) 3 3 + ( s e n 0 ) 5 5 ]

Aí temos:

∫ 0 π 2 cos 5 ⁡ x d x = 1 - 2 3 + 1 5 = 15 - 10 + 3 15 = 8 15

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

8 15

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