Calcule as integrais abaixo.

g )   ∫ s e n 2 x cos 2 ⁡ x d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão integral complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema nos deu essa integral trigonométrica para resolver:

∫ s e n 2 x cos 2 ⁡ x d x

E aqui é o suco do pior truque sujo: identidades trigonométricas! E é isso que vamos usar aqui! Pois esse integrando não apresenta assim, logo de cara, uma função – derivada dessa função no integrando. Isso porque, embora tenha seno e cosseno, eles têm a mesma potência, e aí não temos a função e a derivada.

mas calma! Falei para você do truque sujo né? Então, aqui vamos usar as identidades trigonométricas para arrumar esse integrando!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral é

∫ s e n 2 x cos 2 ⁡ x d x

Vamos rescrever esse integrando usando as identidades, mas quais? Essas aqui você precisa anotar!

Vamos usar a terceira e quarta:

cos 2 ⁡ x = 1 2 1 + cos ⁡ 2 x

s e n 2 x = 1 2 1 - cos ⁡ 2 x

Beleza? Vamos então rescrever nosso integrando:

s e n 2 x cos 2 ⁡ x = 1 2 1 - cos ⁡ 2 x . 1 2 1 + cos ⁡ 2 x

= 1 4 1 - cos ⁡ 2 x 1 + cos ⁡ 2 x = 1 4 1 - cos 2 ⁡ 2 x

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Passo 4

Mas se colocarmos esse resultado no integrando e tentarmos resolver, vai ficar complicado:

∫ s e n 2 x cos 2 ⁡ x d x = ∫ 1 4 1 - cos 2 ⁡ 2 x d x

Mas então, o que fazer? IDENTIDADE TRIGONOMÉTRICA DE NOVO!

Isso mesmo! Está vendo aquele cos 2 ⁡ 2 x ? Então é nele que vamos aplicar a identidade do cosseno! A mesma que usamos no passo anterior! Mas nota que a identidade duplica o argumento do cosseno, então teremos um cos ⁡ 4 x !

cos 2 ⁡ 2 x = 1 + cos ⁡ 4 x 2 = 1 2 + cos ⁡ 4 x 2

E agora substituindo na integral temos:

∫ 1 4 1 - cos 2 ⁡ 2 x d x = ∫ 1 4 1 - 1 2 - cos ⁡ 4 x 2 d x = ∫ 1 4 1 2 - cos ⁡ 4 x 2 d x

= 1 8 ∫ 1 - cos ⁡ 4 x d x

Agora é #partiu integrar!

Passo 5

Depois de todas essas identidades (crise de identidade, temos?) nossa integral ficou essa aqui:

∫ s e n 2 x cos 2 ⁡ x d x = 1 8 ∫ ( 1 - cos ⁡ 4 x ) d x

Bem mais tranquila de resolver né? Agora é só integrar:

1 8 ∫ ( 1 - cos ⁡ 4 x ) d x = 1 8 x - 1 4 s e n 4 x

Aí temos o resultado final:

∫ s e n 2 x cos 2 ⁡ x d x = 1 8 x - 1 4 s e n 4 x + C

Não esquece de colocar aquele + C no final! Estamos falando de uma integral indefinida!

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

∫ s e n 2 x cos 2 ⁡ x d x = 1 8 x - 1 4 s e n 4 x + C

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