Calcule a integral definida

∫ 0 π 4 d x 1 + 3 sec 2 ⁡ x

Passo 1

Essa integral está tensa, eu mesmo tentei resolver ela assim e não saia de jeito nenhum. Vai que eu me pergunto porque não fazer o simples, vamos trocar sec ⁡ x por 1 cos ⁡ x . Vamos resolver a integral como indefinida e depois nos preocupamos com os limites de integração beleza?

∫ d x 1 + 3 sec 2 ⁡ x = ∫ d x 1 + 3 cos 2 ⁡ x = ∫ d x cos 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x + 3 cos 2 ⁡ x = ∫ 1 cos 2 ⁡ x + 3 cos 2 ⁡ x d x

= ∫ 1 cos 2 ⁡ x + 3 cos 2 ⁡ x d x = ∫ cos 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x + 3 d x = ∫ cos ⁡ x cos 2 ⁡ x + 3 d x

Porque coloquei assim? Bem se fizermos

cos 2 ⁡ x = 1 - sen 2 ⁡ x

Vamos ter uma integral com substituição simples de boa de fazer

∫ cos ⁡ x cos 2 ⁡ x + 3 d x = ∫ cos ⁡ x 1 - sen 2 ⁡ x + 3 d x = ∫ cos ⁡ x 4 - sen 2 ⁡ x d x

Repara que temos seno e a derivada do seno que é cosseno, então vamos aplicar o passo a passo da substituição simples

Passo 2

Chamar a função que identificamos de u

u = sen ⁡ x

Achar a sua diferencial

d u = cos ⁡ x d x

Deixar a diferencial igual ao que temos na integral. Neste caso já está igual

Substituir na integral

∫ d u 4 - u 2

Essa integral vamos resolver por outra substituição. Ela lembra muito a derivada de arco seno, lembra qual é?

∫ d x 1 - x 2

Passo 3

Vamos fazer

u = 2 y

Porquê dessa forma vamos ter 1 - y 2 dentro da raiz.

Agora vamos achar sua diferencial

d u = 2 d y

Agora vamos deixar essa diferencial igual ao que temos na integral, neste caso já está igual.

Agora vamos substituir

∫ d u 4 - u 2 = ∫ 2 d y 4 1 - y 2 = ∫ d y 1 - y 2

Agora nos resolvemos a integral

∫ d y 1 - y 2 = arcsen ⁡ y + C

Vamos des-substituir agora

arcsen ⁡ y + C = arcsen ⁡ u 2 + C

E precisamos des-substituir de novo para o valor de x

arcsen ⁡ u 2 + C = arcsen ⁡ sen ⁡ x 2 + C

Passo 4

Mas a nossa integral é definida, então precisamos fazer

arcsen ⁡ sen ⁡ x 2 x = 0 π 4 = arcsen ⁡ sen ⁡ π 4 2 - arcsen ⁡ sen ⁡ 0 2 =

arcsen ⁡ 2 2 2 - arcsen ⁡ 0 2 = arcsen ⁡ 2 4 - 0 = arcsen ⁡ 2 4

Resposta

arcsen ⁡ 2 4

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