Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Q02b) Calcule as seguintes integrais:

∫ sin 5 ⁡ x cos 3 ⁡ x   d x

Passo 1

Essas integrais trigonométricas assustam né? Mas relaxa, a gente tira de letra. Sabe porque? Porque temos a vantagem de seno e cosseno serem um derivado do outro! Então se reescrevermos essa integral para:

∫ sin 5 ⁡ x cos 3 ⁡ x   d x = ∫ sin 5 ⁡ x cos 2 ⁡ x cos ⁡ x d x

E chamarmos:

u = sin ⁡ x

d u d x = cos ⁡ x

d u = cos ⁡ x   d x

O d u fica explícito! Vamos poder escrever a integral como:

∫ u 5 cos 2 ⁡ x   d u

Opa, perai, mas o que eu faço com esse cosseno ai que sobrou? Bem, lembra da relação mãe de todas da trigonometria?

sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

Se u = sin ⁡ x essa relação vira:

u 2 + cos 2 ⁡ x = 1

cos 2 ⁡ x = 1 - u 2

Aí sim! Nossa integral no final das contas, em função de u , se torna:

∫ u 5 1 - u 2   d u

Passo 2

Aquela integral feia e assustadora agora é mais tranquila de resolver não é? Afinal, virou uma integral de um polinômio de u ! Fazendo a distributiva:

∫ u 5 1 - u 2   d u = ∫ u 5 - u 7 d u

E integrando:

∫ u 5 - u 7 d u = u 6 6 - u 8 8 + C

Pra fechar com chave de ouro, basta a gente voltar pra variável original. Como a substituição foi u = sin ⁡ x , vamos ter

∫ sin 5 ⁡ x cos 3 ⁡ x   d x = sin 6 ⁡ x 6 - sin 8 ⁡ x 8 + C  

Resposta

∫ sin 5 ⁡ x cos 3 ⁡ x   d x = sin 6 ⁡ x 6 - sin 8 ⁡ x 8 + C  

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Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x
Calcule a integral ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ
Calcular a área da região limitada por y = tg 3 ⁡ x , y = 1 e x = 0 .
Calcule a integral. ∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x