Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Calcule a integral:

∫ cos 3 ⁡ 2 x d x

Passo 1

Primeiro, começamos fazendo uma substituição simples: u = 2 x

Que leva a d u = 2 d x , ficando: ∫ cos 3 ⁡ 2 x d x ⟹ 1 2 ∫ cos 3 ⁡ u d u

Passo 2

Agora, vamos usar as relações trigonométricas:

cos 3 ⁡ u = cos ⁡ u 1 - sen 2 ⁡ u = cos ⁡ u - cos ⁡ u sen 2 ⁡ u

Assim, podemos escrever:

1 2 ∫ cos 3 ⁡ u d u = 1 2 ∫ cos ⁡ u d u - 1 2 ∫ sen 2 ⁡ u cos ⁡ u d u

Vamos agora resolver cada integral separadamente.

Passo 3

1 2 ∫ cos ⁡ u d u = 1 2 sen ⁡ u + C 1

Passo 4

Para a outra, podemos fazer nova substituição w = sen ⁡ u , d w = cos ⁡ u d u . Levando a: 1 2 ∫ sen 2 ⁡ u cos ⁡ u d u = 1 2 ∫ w 2 d w = 1 2 ⋅ w 3 3 + C 2 = w 3 6 + C 2 = sen 3 ⁡ u 6 + C 2

Passo 5

Agora, ficamos com, considerando C = C 1 + C 2 :

1 2 ∫ cos 3 ⁡ u d u = 1 2 sen ⁡ u - sen 3 ⁡ u 6 + C

Voltando a x :

∫ cos 3 ⁡ 2 x d x = 1 2 sen ⁡ 2 x - sen 3 ⁡ 2 x 6 + C

Resposta

∫ cos 3 ⁡ 2 x d x = 1 2 sen ⁡ 2 x - sen 3 ⁡ 2 x 6 + C

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