1. Calcule as integrais abaixo:

∫ x   x   d x

Passo 1

Fala aí!!! Tudo belezinha com você?

Vem comigo resolver essa integral delicinha aqui!!!

Primeiro vamos entender o enunciado da questão. Ele está querendo que a gente resolva a integral dessa função feiosa aqui.

∫ x   x   d x

Sim, ela é bem esquisita, mas tem uma coisa que deve chamar a nossa atenção assim que a gente bate o olho nela: essa integral envolve s e c a n t e   e t a n g e n t e , essas duas meninas são super parceiras na integração por substituição simples, pois quando derivamos uma delas, a derivada nos dá algo relacionado a outra.

Então a ideia base pra gente resolver essa integral é fazer algumas manipulações que nos permitam usar a integração por substituição simples. Sacou?!

Vem comigo que vou lhe mostrar como fazer isso.

Passo 2

Vamos abrir nossos trabalhos lembrando da seguinte relação:

( x )   = x   - 1

E com isso podemos modificar um pouco a maneira como a x   está escrita em nossa integral. Veja:

∫ x   ⋅ x   2 ⋅ t a n t a n   x   d x

Agora, onde está ( x )   substituímos, ficando com:

∫ x   ⋅ x   - 1 2 ⋅ t a n t a n   x   d x

Agora já somos capazes de usar a substituição simples nesse novo formato da integral. Vamos ver isso acontecendo no próximo passo.

Passo 3

A integral que queremos resolver ficou assim:

∫ x   ⋅ x   - 1 2 ⋅ t a n t a n   x   d x

Agora, usando a substituição simples, vamos chamar

u = s e c s e c   x  

E derivando ficaremos com

d u = s e c s e c   x ⋅ t a n t a n   x     d x

Agora veja um detalhe importante: precisaremos desmembrar a

x  

em

x   ⋅ s e c s e c   x  

E jogar essa última s e c s e c   ( x )   pra pertinho da t a n t a n   ( x )   para que juntas elas formem o d u que acabamos de encontrar. 😉

Assim:

∫ x   ⋅ x   - 1 2 ⋅ s e c s e c   x   ⋅ t a n t a n   x   d x

Show! Agora substituindo tudo, ficamos com:

∫ u 2021 ⋅ u 2 - 1 2   d u

Abrindo u 2 - 1 2 = u 4 - 2 u 2 + 1 , teremos

∫ u 2021 ⋅ u 4 - 2 u 2 + 1   d u

Agora vamos fazer a multiplicação distributiva de u 2021 , e a nossa integral se transformará em:

∫ u 2025 - 2 u 2023 + u 2021   d u

Agora basta integrar diretamente esses carinhas aí usando a regra do expoente.

∫ u 2026 - 2 u 2023 + u 2021   d u = u 2026 2026 - u 2024 1012 + u 2022 2022 + c

E pronto, integral resolvida.

Mas lembre-se que nossa função original não estava na variável u , mas sim na variável x . Então vamos lembrar que fizemos:

u = s e c s e c   x  

Logo, o resultado da nossa integral é:

x   2026 - x   1012 + x   2022 + c

E assim encontramos finalmente o nosso resultado.

Sei que deu trabalho, mas no final valeu a pena. 😉

Bora para a próxima questão!!!

Resposta

∫ x   x   d x = x   2026 - x   1012 + x   2022 + c

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