Calcule as integrais das funções abaixo:

c )   ∫ e x 2 a r c t g   e x   d x  

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão fala de integral de uma função! Precisamos resolver essa integral indefinida aqui

∫ e x 2 a r c t g   e x   d x

e agora, como resolver isso? Por onde começar? Nossa pergunta de milhões...

Temos como integrando uma função trigonométrica inversa e normalmente integramos com alguma técnica (substituição e por partes) e nos casos mais tranquilos integramos direto (sabemos a integral do arco tangente, lembra?), só que no nosso caso temos uma exponencial no seu argumento, e fora do integrando também! Mas então o que fazer?

A ideia aqui é usar uma substituição simples para que esse integrando fique mais simples (lembrando que a derivada da exponencial é ela mesma) e assim integrar usando a técnica de integração mais apropriada!

Belezinha até aqui?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral é a seguinte

∫ e x 2 a r c t g   e x d x

Antes de mais nada, vamos analisar o integrando com mais carinho

e x 2 a r c t g   e x

Note que temos e x e e x 2 , e se usarmos u = e x → e x 2 = u 2 e aí que está nosso pulo do gato!

Vamos fazer essa substituição!

u = e x

d u = e x d x  

E agora substituir no nosso integrando

e x 2 a r c t g   e x d x = e x a r c t g e x . e x d x = u   a r c t g ( u ) d u

Tudo bem até aqui?

Assim nossa integral fica

∫ u   a r c t g ( u ) d u

Agora sim! Podemos usar a técnica de partes para integrar! Isso porque temos um produto de uma função trigonométrica inversa com um polinômio!

Tranquilo? Vamos lá?

Passo 3

Bora escolher quem será nosso u e d v !

Para a escolha do u temos uma listinha, nosso famoso LIATE

  • L: logaritmo
  • I: inversa trigonométrica
  • A: algébrica (polinômio)
  • T: trigonométrica
  • E: exponencial

Seguindo essa lista, você vai descobrir quem escolher para u ! No nosso caso, u = a r c t g ( u ) , assim

u = a r c t g u → d u = 1 1 + u 2 d u

d v = u d u → v = u 2 2

Beleza?

Relembrando a integração por partes

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Aplicando para nosso caso temos o seguinte

∫ u   a r c t g u d u = u 2 2 a r c t g u - ∫ u 2 2 1 1 + u 2 d u

= u 2 2 a r c t g u - 1 2 ∫ u 2 1 + u 2 d u

Beleza?

Belezinha? Vamos integrar?

Passo 4

Precisamos resolver agora essa integral aqui:

u 2 2 a r c t g u - 1 2 ∫ u 2 1 + u 2 d u

O termo mais à esquerda já está integrado, precisamos resolver só o termo mais à direita! E aqui vai um truque sujo! #ALERTATRUQUESUJO

Quando você vir esse integrando

u 2 1 + u 2

A ideia é somar e subtrair 1 no numerador! Assim vai poder dividir em duas frações e integrar com mais facilidade! Saca só

u 2 + 1 - 1 1 + u 2 = u 2 + 1 1 + u 2 - 1 1 + u 2 = 1 - 1 1 + u 2

Bem mais tranquilo né?

Agora é só substituir e integrar!

u 2 2 a r c t g u - 1 2 ∫ 1 - 1 1 + u 2 d u = u 2 2 a r c t g u - 1 2 u - a c r t g u

Terminamos? NÃO!

Nossa integral original é em x ! Então precisamos retornar para a variável x e somar a constante de integração, afinal nossa integral é indefinida!

Sabendo que

u = e x

Daí nosso resultado fica

( e x ) 2 2 a r c t g e x - 1 2 e x - a c r t g e x + C

Ufa, terminamos galera! Vamos para a próxima?

Resposta

( e x ) 2 2 a r c t g e x - 1 2 e x - a c r t g e x + C

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