Um objeto se move ao longo de um trajeto retilíneo. Sua posição, medida em metros ( m ) , no instante t , medido em segundos ( s ) é dada pela função g ( t ) . Quando 0 < t < 1 , a posição é definida por:

g t = ∫ t 2 2 t 1 + 2 cos ⁡ π u sin ⁡ π u 1 + u 2 d u  

Determine a posição do objeto para t = 0 e a velocidade do objeto para t = 1 s .

Passo 1

Faleis, vós, consagrados pelo sanha. A solução é tão rápida que eu recomendo não piscar pra não perder.

Em primeiro lugar, a posição do objeto para t = 0 :

g 0 = ∫ 0 0 1 + 2 cos ⁡ π u sin ⁡ π u 1 + u 2 d u = 0  

Pois sempre que os limites de integração se igualam, a integral se anula.

Passo 2

Em segundo lugar, a velocidade do objeto para t = 1 s . Bem, seja:

h u = 1 + 2 cos ⁡ π u sin ⁡ π u 1 + u 2

E H ( u ) sua primitiva tal que H ' u = h ( u ) . Assim,

g t = ∫ t 2 2 t h u d u  

= H 2 t - H ( t 2 )

Logo,

g ' t = 2 t ' H ' 2 t - ( t 2 ) ' H ' ( t 2 )

= 2 h 2 t - 2 t h ( t 2 )

Este desenvolvimento é indicado pelo 1° Teorema Fundamental do Cálculo e daí extraímos que a velocidade:

d g 1 d t = g ' 1 = 2 h 2 - 2 h 1

= 2 1 + 2 cos ⁡ 2 π sin ⁡ 2 π 1 + 2 2 - 2 1 + 2 cos ⁡ π sin ⁡ π 1 + 1 2

= 2 1 5 - 2 1 2

= - 4 5 = - 0,8

Resposta

Assim, a posição em t = 0 é x = 0   m e a velocidade em t = 1   s é - 0,8   m / s

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