2) Calcule as integrais definidas abaixo:

a) ∫ 0 π 2 c o s c o s   x   4 x   d x

Passo 1

Opa pessoas lindas desse mundãooo do Responde Aí!! Leu esse enunciado e ficou um pouco confuso?

Calma, vamos resolver juntos com muito amor e carinho hehehehehe. Vamos que vamos!!

Nesse exercício precisamos calcular a integral definida dada pelo enunciado. Ou seja, vamos executar a integração da função conforme as regras e métodos que já conhecemos e, no final, vamos aplicar o intervalo de integração que também foi informada pelo enunciado.

Legal, mas como fazemos isso? Como calculamos essa integral?

Apesar de parecer confusa, essa função pode ser resolvida sem muito segredo. Um ponto importantíssimo que precisamos notar aqui é que essa é a integral de um produto! Por isso,Então para calcularmos essa integral usaremos a Integração por Partes.

Nossa, como funciona esse tipo de integral mesmo?

A Integração por Partes é um método que permite expressar a integral de um produto de funções em outra integral, facilitando as nossas contas. Como ela é usada no produto de funções, precisamos então de pelo menos duas funções diferentes e seguiremos sempre essa regra:

∫ a b u   d v = u v - ∫ a b v   d u

Onde u ( x ) e v ( x ) são as nossas funções. Mas cuidado! Quem aparece no integrando da nossa integral original não é u e v . Quem aparece é u e d v ! Multiplicados um pelo outro. E o pulo do gato é definir quem vai ser quem.

Agora que relembramos tudo isso, vamos calcular?

Passo 2

Vamos definir quem são u e v no nosso exemplo.Temos o produto de 4 x e c o s   x .

Chamaremos:

u = 4 x  

d v = c o s c o s   x   d x

v = s i n s i n   x  

d u = - 4 s i n s i n   ( 8 x )   d x

Colocando na regra:

( 4 x )   s i n s i n   x   - ∫ s i n s i n   x   * ( - 4 ) s i n s i n   ( 8 x )   d x

Simplificando:

4 x   s i n s i n   x   - 4 ∫ s i n s i n   ( x )   s i n s i n   ( 8 x )   d x

Passo 3

Naturalmente, como aplicamos a integração por partes, surgiu uma nova integral para calcularmos.

Então vamos resolver!

∫ s i n s i n   ( x )   s i n s i n   ( 8 x )   d x

Como temos o produto entre funções seno, podemos reescrever com o apoio de identidades trigonométricas.

Para esse caso, usaremos que:

s i n s i n   ( s )   * s i n s i n   t   = - c o s c o s   s + t   + c o s c o s   ( s - t )   2

Substituindo:

∫ 1 2 - c o s c o s   9 x   + c o s c o s   - 7 x     d x

1 2 ∫ - c o s c o s   9 x   + c o s c o s   - 7 x     d x

E como temos a soma dentro da integral:

1 2 - 1 ∫ c o s c o s   9 x     d x + ∫ c o s c o s   - 7 x     d x

Integrando:

1 2 - 1 9 s i n s i n   9 x   + 1 7 s i n s i n   7 x  

Passo 4

Retornando para o Passo 2, vamos juntar a nossa integral:

4 x   s i n s i n   x   - 4 1 2 - 1 9 s i n s i n   9 x   + 1 7 s i n s i n   7 x  

Simplificando:

4 x   s i n s i n   x   - 2 - 1 9 s i n s i n   9 x   + 1 7 s i n s i n   7 x  

Como a nossa integral é definida, vamos colocar o intervalo e substituir os valores para x :

4 x   s i n s i n   x   - 2 - 1 9 s i n s i n   9 x   + 1 7 s i n s i n   7 x   | π 2 0

2 π   s i n s i n   π 2   + 2 9 s i n s i n   9 π 2   - 2 7 s i n s i n   7 π 2   - 0   s i n s i n   0   + 2 9 s i n s i n   0   - 2 7 s i n s i n   0  

1 2 * 1 - 2 9 - 2 7 - 1 2 * 0 + 0 - 0

1 - 2 9 - 2 7

Resolvendo isso encontraremos o resultado:

63 63 - 14 63 - 18 63 = 31 63

Uhuuuuul!! Terminamos essa questão monstrengozinha!

E aí?! O que acharam?

Prontos pra fazer mais uma e ficar com essa sensação top de que conseguimos? Hehehehe

Resposta

31 63

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