Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

(c.1) Mostre que tan 2 ⁡ x + 1 = sec 2 ⁡ x .

(c.2) Utilizando o item (c.1) calcule

∫ x   t a n 2 x   d x

(d.1) Mostre que s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2 .

(d.2) Utilizando o item (d.1), calcule

∫ x   s e n 2 x   d x

Passo 1

(c.1) Observe bem essa equação

tan 2 ⁡ x + 1 = sec 2 ⁡ x

Ela lembra um pouco essa aqui ne?

s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1

Talvez um bom palpite seja pensar que uma veio da outra. Repara só, a gente sabe que:

t a n 2 x = s e n 2 x cos 2 ⁡ x    

E

sec 2 ⁡ x = 1 cos 2 ⁡ x  

Olha o que acontece então se a gente dividir s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 por cos 2 ⁡ x   :

s e n 2 x cos 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x = 1 cos 2 ⁡ x

tan 2 ⁡ x + 1 = sec 2 ⁡ x

Uhul! Deu certo ���

Passo 2

(c.2) Pra calcular a integral

∫ x tan 2 ⁡ ( x ) d x

vamos substituir tan 2 ⁡ x pelo seguinte:

tan 2 ⁡ ( x ) = sec 2 ⁡ ( x ) - 1

Ai vai ficar:

∫ x ∙ ( sec 2 ⁡ x - 1 ) d x

∫ ( sec 2 ⁡ x x - 1 ) d x

Agora separamos em duas integrais.

∫ x ∙ sec 2 ⁡ ( x ) d x - ∫ x   d x

Passo 3

Agora vamos resolvê-las separadamente e depois juntar. Essa aqui é tranquila:

∫ x   d x = x 2 2

E ∫ x ∙ sec 2 ⁡ ( x ) d x , faz como? Integração por partes!

Observe que temos a função x multiplicando a função sec 2 ⁡ ( x ) , que é justamente a derivada da função tan 2 ⁡ ( x ) , por isso podemos usar essa técnica. Então fica:

∫ x ∙ sec 2 ⁡ ( x ) d x = x t a n x - ∫ tan ⁡ x d x

Passo 4

Caramba! Surgiu outra integral pra calcular... Calma, vamos nessa que ta acabando!

∫ tan ⁡ x d x = ∫ s e n ( x ) c o s ⁡ ( x ) d x

Nessa vamos usar integração por substituição:

u = cos ⁡ x

d u = - s e n x   d x

Voltando pra integral:

∫ s e n ( x ) c o s ⁡ ( x ) d x = ∫ - 1 u d u = - ln ⁡ u

E retornando pra variável x :

- ln ⁡ u = - l n ⁡ ( cos ⁡ x )

Passo 5

Pronto, agora é só juntar tudo. Vimos que:

∫ x ∙ sec 2 ⁡ ( x ) d x =   x t a n x - ∫ tan ⁡ x d x = x t a n x - - ln ⁡ cos ⁡ x = x t a n x + ln ⁡ cos ⁡ x

E

∫ x   d x = x 2 2

Portanto

∫ x ∙ sec 2 ⁡ ( x ) d x - ∫ x   d x = x t a n x + ln ⁡ cos ⁡ x - x 2 2 + c

Passo 6

Passo 7

(d.1) Olhando bem pra essa relação, uma coisa que chama atenção é que estamos trabalhando com ângulos diferentes:

sen 2 ⁡ ( x )

c o s ⁡ ( 2 x )

Uma identidade trigonométrica bastante comum que relaciona as funções s e n e c o s com ângulos distintos é

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b - s e n a   s e n b

Se fizermos a = b , aparece c o s ⁡ ( 2 a ) , que lembra o cos ⁡ 2 x da relação que a gente quer deduzir. Então, vamos pegar essa identidade acima e fazer a = b = x .

cos ⁡ x + x = cos ⁡ x cos ⁡ x - s e n x   s e n x

cos ⁡ 2 x = cos 2 ⁡ x - s e n 2 x

Passo 8

Já apareceu o cos ⁡ 2 x e o s e n 2 x . Acho que estamos no caminho certo. Pela relação

s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1

A gente consegue ver que

cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 x

Substituindo:

cos ⁡ 2 x = ( 1 - sen 2 ⁡ ( x ) ) - s e n 2 x

cos ⁡ 2 x = 1 - sen 2 ⁡ ( x ) - s e n 2 x

cos ⁡ 2 x = 1 - 2 sen 2 ⁡ ( x )

2 sen 2 ⁡ ( x ) = 1 - cos ⁡ 2 x

sen 2 ⁡ ( x ) = 1 - cos ⁡ 2 x 2

Passo 9

(d.2) Como a questão pediu pra usar o item (d.1) vamos substituir o sin 2 ⁡ ( x ) na integral.

∫ x sen 2 ⁡ ( x ) d x = ∫ x 1 - cos ⁡ 2 x 2 d x

Ajeitando isso vai ficar:

∫ x - cos ⁡ 2 x x 2 d x = 1 2 ∫ ( x - cos ⁡ 2 x x )   d x = 1 2 ∫ x   d x - 1 2 ∫ x c o s 2 x   d x    

A primeira integral já sabemos calcular facilmente, eh

∫ x   d x = x 2 2

a segunda vai ser uma integração por partes. Assim:

∫ x c o s 2 x   d x = x ∙ s e n 2 x 2 - ∫ s e n 2 x 2   d x = x ∙ s e n 2 x 2 - 1 2 ∫ s e n 2 x d x = x ∙ s e n 2 x 2 - 1 2 - cos ⁡ 2 x 2 = x ∙ s e n 2 x 2 + cos ⁡ 2 x 4

Finalmente podemos juntar os resultados na expressão 1 2 ∫ x   d x - 1 2 ∫ x c o s 2 x   d x :

1 2 ∫ x   d x - 1 2 ∫ x c o s 2 x   d x = 1 2 ∙ x 2 2 -   1 2 x ∙ s e n 2 x 2 + cos ⁡ 2 x 4 = x 2 4 - x s e n 2 x 4 - cos ⁡ 2 x 8 + c

Resposta

(c.1) – dedução de formula-

(c.2)   x t a n x + ln ⁡ cos ⁡ x - x 2 2 + c

(d.1) -dedução de formula-

(d.2)   x 2 4 - x s e n 2 x 4 - cos ⁡ 2 x 8 + c

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Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x
Calcule a integral ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ
Calcular a área da região limitada por y = tg 3 ⁡ x , y = 1 e x = 0 .
Calcule a integral. ∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x