Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

b Calcule as seguintes integrais:

b 3   ∫ 0 π 4 1 + cos ⁡ 4 x d x

Passo 1

Cara, essa questão aí pede um jeito mais astuto de saída. No caso, a gente precisa de um jeito de simplificar esse cara. Bom, vou começar sugerindo o seguinte. O argumento daquele cosseno é 4 x algo meio peculiar, geralmente vemos algo como x só dentro do cosseno. Nessa linha, vale a pena talvez abrí-lo, em um argumento menor. Como fazer isso? Vamos procurar uma relação trigonométrica cabível:

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b - sen ⁡ a sen ⁡ b

Bom, fazendo a = b = 2 x olha como ficamos:

cos ⁡ 4 x = cos 2 ⁡ 2 x - sen 2 ⁡ 2 x

Vamos lançar isso na integral:

∫ 0 π 4 1 + cos ⁡ 4 x d x = ∫ 0 π 4 1 + cos 2 ⁡ 2 x - sen 2 ⁡ 2 x d x

Cara, pela Relação Fundamental da Trigonometria olha o que sai:

sen 2 ⁡ 2 x + cos 2 ⁡ 2 x = 1 → 1 - sen 2 ⁡ 2 x = cos 2 ⁡ 2 x

∫ 0 π 4 1 + cos 2 ⁡ 2 x - sen 2 ⁡ 2 x d x = ∫ 0 π 4 2 cos 2 ⁡ 2 x d x

= ∫ 0 π 4 2 cos ⁡ 2 x d x

Passo 2

Agora só temos que resolver esse cara. Repara que quando 0 ≤ 2 x ≤ π 2 vale o seguinte:

cos ⁡ 2 x = cos ⁡ 2 x

Como o intervalo de integração corresponde ao mesmo intervalo, podemos validar isso:

∫ 0 π 4 2 cos ⁡ 2 x d x = ∫ 0 π 4 2 cos ⁡ 2 x d x

= 2 sen ⁡ 2 x 2 [ π 4 0

= 2 sen ⁡ π 2 2 - 2 sen ⁡ 0 2 = 2 2 - 0 2

= 2 2

Resposta

∫ 0 π 4 1 + cos ⁡ 4 x d x = 2 2

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