Calcule:

h )   ∫ sec 2 ⁡ ( x ) d x

Passo 1

Eaew, tudo certo contigo?

Esta integral parece complicada, mas, na verdade ela já está em um formato de integral conhecida! Só precisamos lembrar qual! Para não ficar dúvidas sobre quem ela é! Vamos calcular uma derivada! Saca só!

Passo 2

Se lembrarmos que:

tan ⁡ ( x ) = sin ⁡ x / cos ⁡ ( x )

Portanto, temos que:

d d x tan ⁡ ( x ) = d d x sin ⁡ x cos ⁡ ( x ) - sin ⁡ ( x ) d d x cos ⁡ ( x ) cos 2 ⁡ ( x ) = cos 2 ⁡ ( x ) + sin 2 ⁡ ( x ) cos 2 ⁡ ( x ) = 1 cos 2 ⁡ ( x ) = sec 2 ⁡ ( x )

Usei aqui a regra o quociente, e que sin 2 ⁡ ( x ) + cos 2 ⁡ ( x ) = 1 . Isso acima é bastante interessante! Saca só porquê!

Passo 3

Se temos que:

d d x tan ⁡ x = sec 2 ⁡ x

Então

d tan ⁡ x = sec 2 ⁡ ( x ) d x → ∫ sec 2 ⁡ ( x ) d x = tan ⁡ ( x ) + C

Nossa questão é isso, te vejo na próxima!

Resposta

∫ sec 2 ⁡ ( x ) d x = tan ⁡ ( x ) + C

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