Calcule as integrais abaixo.

e )   ∫ s e n 3 x cos 2 ⁡ x d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão integral complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema nos deu essa integral trigonométrica para resolver:

∫ s e n 3 x cos 2 ⁡ x d x

Mas calma! Como vimos lá na lista de integração por substituição, você está autorizado a usar truques sujos! Isso mesmo: truquinhos que vão te ajudar a separar esse integrando e identificar uma substituição que seja favorável para você!

Como temos uma potência ÍMPAR de uma trigonométrica do tipo seno/cosseno podemos fazer a substituição u ,   d u , pois um pode ser escrito como a derivada do outro!

Então a ideia aqui é a seguinte: usar a relação fundamental da trigonometria para ter seno/cosseno nesse integrando e usar o método da substituição simples para resolver!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral é:

∫ s e n 3 x cos 2 ⁡ x d x

Podemos separar o integrando da seguinte forma:

s e n 3 x   c o s 2 x = s e n x .   s e n 2 x . cos 2 ⁡ x

E usar a relação fundamental

cos 2 ⁡ x + s e n 2 x = 1 → s e n 2 x = 1 - cos 2 ⁡ x

Aí nosso integrando fica:

s e n 3 x   c o s 2 x = s e n x 1 - cos 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x

Agora vamos substituir dentro da integral:

∫ s e n 3 x   c o s 2 x d x = ∫ s e n x 1 - cos 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos resolver a integral indefinida:

∫ s e n x 1 - cos 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x

u = cos x e assim d u = - s e n x   d x . Nossa integral fica assim:

- ∫ 1 - u 2 u 2 d u

Ficamos com uma integração de potência! Vamos integrar?

E integrar:

- ∫ 1 - u 2 u 2 d u = - ∫ u 2 d u - ∫ u 4 d u = - u 3 3 - u 5 5 = u 5 5 - u 3 3

E agora vamos voltar para x , lembrando que u = cos ⁡ x :

∫ s e n 3 x   c o s 2 x d x = ( cos ⁡ x ) 5 5 - ( cos ⁡ x ) 3 3 + C

E é isso! Não esquece de colocar aquele + C no final ta? A integrar aqui é indefinida!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

∫ s e n 3 x   c o s 2 x d x = ( cos ⁡ x ) 5 5 - ( cos ⁡ x ) 3 3 + C

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