Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Passo 1

Precisamos resolver

∫ tan 3 ⁡ x sec 4 ⁡ x d x

Vamos começar usando a identidade trigonométrica

sec 2 ⁡ x = tan 2 ⁡ x + 1

E ficamos com

∫ tan 3 ⁡ x sec 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x + 1 d x

Passo 2

Para resolver essa integral vamos usar a substituição

u = tan ⁡ x

d u = sec 2 ⁡ x d x  

Aplicando na nossa integral vamos ficar com

∫ tan 3 ⁡ x sec 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x + 1 d x = ∫ u 3 u 2 + 1 d u

Que podemos separar em duas integrais

∫ u 3 u 2 + 1 d u = ∫ u 5 d u + ∫ u 3 d u

Resolvendo nossas integrais ficamos com

∫ u 3 u 2 + 1 d u = u 6 6 + u 4 4 + C

Desfazendo a substituição

u = tan ⁡ x

∫ tan 3 ⁡ x sec 4 ⁡ x d x = tan 6 ⁡ x 6 + tan 4 ⁡ x 4 + C

Resolvida nossa integral!

Outra opção seria ter substituído tan 2 ⁡ x = 1 - sec 2 ⁡ x

E resolvido de forma parecida, utilizando a substituição u = sec ⁡ x . Teríamos encontrado

∫ tan 3 ⁡ x sec 4 ⁡ x d x = sec 6 ⁡ x 6 - sec 4 ⁡ x 4 + C

Resposta

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Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x
Calcule a integral ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ
Calcular a área da região limitada por y = tg 3 ⁡ x , y = 1 e x = 0 .
Calcule a integral. ∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x